где r – число отобранных серий; R – общее число серий.
Межгрупповую дисперсию при равновеликих группах вычисляют следующим образом:
,
где 
- средняя i-й серии; 
- общая средняя по всей выборочной совокупности.
Пример 11.5. В целях контроля качества комплектующих из партий изделий, упакованных в 50 ящиков по 20 изделий в каждом, была произведена 10%-ная серийная выборка. По попавшим в выборку ящикам среднее отклонение параметров изделия от нормы соответственно составило 9 мм, 11, 12, 8 и 14 мм. С вероятностью 0,954 определите среднее отклонение параметров по всей партии в целом.
Рассчитаем выборочную среднюю: 
мм.
Определим величину межгрупповой дисперсии:
.
С учетом установленной вероятности Р = 0,954 (t = 2) предельная ошибка выборки составит: 
мм.
Произведенные расчеты позволяют заключить, что среднее отклонение параметров всех изделий от нормы находится в следующих границах:
(10,8 – 1,8) мм 
(10,8 + 1,8) мм.
Для определения необходимого объема серийной выборки при заданной предельной ошибке используются следующие формулы:
, 
.
11.3.Проверка гипотезы о существенности расхождения средних
К расчетам ошибок случайной выборки прибегают в тех случаях, когда необходимо сравнить между собой средние величины данного признака по двум совокупностям, т. е. определить, существенно ли расхождение между двумя выборочными средними или несущественно; следовательно, превосходит или не превосходит максимальной величины случайного расхождения, которое можно ожидать с определенной вероятностью. Другими словами, можно ли считать, что генеральные средние в двух подгруппах одинаковы, и эти подгруппы можно объединить в одну группу и характеризовать последнюю общей средней?
Для ответа на вопрос определяют среднюю (стандартную) случайную ошибку разности двух выборочных средних (
); для двух независимых выборок она определяется по формуле
,
где 
и 
- выборочные дисперсии соответственно в первой и во второй выборках; 
и 
- стандартная ошибка средней соответственно в первой и во второй выборках.
; 
По таблице Лапласа определяют по полученному значению t соответствующую вероятность (см. приложение 3). Если вероятность значительна, то нулевая гипотеза, т. е предположение об отсутствии существенного различия, не опровергается.
Получить ответ на выдвинутую нулевую гипотезу можно иначе. Зная величину ошибки разности выборочных двух средних, можно с заданной вероятностью указать предел возможных расхождений двух выборочных средних. Если 
>
при определенной заданной доверительной вероятности, то это свидетельствует о том, что нулевая гипотеза не подтверждается.
Пример 11.6. Обработка детали № 000 производится в цехе на двух однотипных станках. При выборочном наблюдении (механический отбор единиц) были зарегистрированы следующие затраты на обработку одной детали (табл. 11.4):
Необходимо определить на основе приведенных данных, существенно ли расхождение в затратах времени на обработку одной детали для этих двух станков, гарантируя результат с вероятностью 0,95.
Таблица 11.4. Результаты выборочного обследования затрат времени на обработку детали № 000
Затраты времени на одну деталь, мин. | Число деталей | |
станок №1 | станок №2 | |
1,5 – 2,5 | 7 | - |
2,5 – 3,5 | 10 | 12 |
3,5 – 4,5 | 15 | 17 |
4,5 – 5,5 | 8 | 11 |
Итого | 40 | 40 |
Для ответа на поставленный вопрос определяется отношение
, 
, 
.
Таблица 11.5 Вспомогательная таблица для расчета средних и дисперсий
Затраты времени на 1 деталь | Станок №1 | ||||
число деталей, f |
|
|
|
| |
1,5 – 2,5 | 7 | 2 | 14 | -1,6 | 17,92 |
2,5 – 3,5 | 10 | 3 | 30 | -0,6 | 3,6 |
3,5 – 4,5 | 15 | 4 | 60 | 0,4 | 2,4 |
4,5 – 5,5 | 8 | 5 | 40 | 1,4 | 15,68 |
Итого | 40 | 144 | 39,6 |
Затраты времени на 1 деталь | Станок №2 | ||||
число деталей, f |
|
|
|
| |
1,5 – 2,5 | - | - | - | - | - |
2,5 – 3,5 | 12 | 3 | 36 | 0,98 | 11,52 |
3,5 – 4,5 | 17 | 4 | 68 | 0,02 | 0,007 |
4,5 – 5,5 | 11 | 5 | 55 | 1,02 | 5,2 |
Итого | 40 | 159 | 16,73 |
мин.; 
; 
мин.; 
; 
; 
.
При заданной доверительной вероятности Р = 0,95 =1,96. >- это свидетельствует о том, что нулевая гипотеза не подтверждается, т. е. расхождение между средними затратами времени на обработку одной детали на двух станках существенно и не может быть объяснено случайностями выборки.
Контрольные вопросы
1. Что такое выборочное наблюдение, и в каких случаях к нему прибегают?
2. Объясните понятия генеральной и выборочной совокупности.
3. Какие существуют способы отбора (виды выборки)?
4. Что такое повторная и бесповторная выборка?
5. Как определяется объем собственно-случайной бесповторной выборки?
6. В чем отличие средней и предельной ошибок выборки?
7. Решение каких вопросов зависит от объема выборки? Как влияет объем выборки на ее ошибке?
Задачи и упражнения
1. В результате 5%-ного выборочного обследования торговых предприятий региона, проведенного на основе собственно-случайной бесповторной выборки, получены следующие данные:
Номер торгового предприятия | Товарооборот за месяц, млн. руб. | Номер торгового предприятия | Товарооборот за месяц, млн. руб. | Номер торгового предприятия | Товарооборот за месяц, млн. руб. | Номер торгового предприятия | Товаро-оборот за месяц, млн. руб. |
1 | 2,3 | 11 | 3,2 | 21 | 2,3 | 31 | 1,9 |
2 | 1,9 | 12 | 2,0 | 22 | 2,4 | 32 | 2,4 |
3 | 2,8 | 13 | 1,5 | 23 | 2,7 | 33 | 2,0 |
4 | 2,1 | 14 | 2,3 | 24 | 2,4 | 34 | 2,3 |
5 | 2,2 | 15 | 1,8 | 25 | 2,9 | 35 | 3,5 |
6 | 3,7 | 16 | 2,4 | 26 | 1,7 | 36 | 2,5 |
7 | 2,8 | 17 | 2,3 | 27 | 2,2 | 37 | 2,4 |
8 | 3,0 | 18 | 2,8 | 28 | 2,5 | 38 | 2,3 |
9 | 2,3 | 19 | 2,5 | 29 | 2,3 | 39 | 2,2 |
10 | 2,0 | 20 | 2,3 | 30 | 2,5 | 40 | 2,8 |
С вероятностью 0,954 определите по региону в целом:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
