Системы автоматического регулирования с применением микроэвм (анализ и синтез систем) (стр. 5 )

Рис. 2.11 – Статическая характеристика АЦП

На рис. 2.11 ось абсцисс отображает непрерывные значения X1(t), а ось ординат – их цифровые представления (числа) Х1(nt), получаемые на выходе преобразователя. Эти числа даны в десятичной системе счисления. Величину h, определяющую интервал квантования входного сигнала по уровню, называют интервалом дискретности. Она соответствует величине единиц младшего разряда цифрового представления входного сигнала преобразователя. Такая процедура преобразования сигналов в АЦП, именуется импульсно-кодовой модуляцией.

Подобными характеристиками обладают и ЦАП.

Анализируя статическую характеристику (рис. 2.11) нетрудно понять, что аналого-цифровые преобразователи являются нелинейными (релейными) элементами. В связи с этим, даже при реализации с помощью микроЭВМ линейных законов регулирования, цифровые САР по своей сути являются нелинейными системами. Непосредственное использование известных методов исследования нелинейных систем мало пригодно применительно к цифровым системам. Поэтому при их исследовании чаще всего применяют метод линеаризации статических характеристик АЦП и ЦАП, сущность которого состоит в замене их ступенчатых характеристик усредненными линейными зависимостями (на рис. 2.11 такая линеаризованная статическая характеристика показана пунктиром), точность аппроксимации которыми возрастает с увеличением разрядности преобразователей.

В этой связи уместно подчеркнуть, что современные АЦП и ЦАП обеспечивают достаточно высокую разрядность кодирования сигналов (например, в преобразователях 8-14 двоичным разрядам соответствует 255-16383 уровня).

Такая линеаризация позволяет пренебречь нелинейным эффектом квантования по уровню и рассматривать АЦП и ЦАП как идеальные ключи в совокупности с фиксатором (экстраполятором) нулевого порядка с передаточной функцией (2.2). Следовательно, для построения математических моделей цифровых систем (САР с микроЭВМ) можно применять математический аппарат импульсных систем с АИМ, рассмотренный в предыдущем параграфе.

Следовательно структурную схему цифровой САР (САР с микроЭВМ) можно свести к структурной схеме, показанной на рис. 2.12.

Рис. 2.12 – Структурная схема цифровой САР – САР с микроЭВМ

Передаточную функцию непрерывной части WПНЧ(p) (рис. 2.12) определяют по следующей методике.

Этап 1. Находят передаточную функцию непрерывной части исходной САР WНЧ(p).

Этап 2. Определяют передаточную функцию приведенной непрерывной чисти системы как

WПНЧ(p)=WФ(p)WНЧ(p), (2.18)

где WФ(p) – передаточная функция фиксатора (экстраполятора) нулевого порядка (2.2).

Ее записывают с учетом обозначения eTp=z в следующем виде

. (2.19)

Подставляя (2.19) в (2.18) окончательно

. (2.20)

Этап 3. Применяя Z-преобразование к (2.20), получают дискретную передаточную функцию приведенной непрерывной части САР

. (2.21)

Z-преобразование выражения в квадратных скобках передаточной функции (2.21) находят с помощью таблицы 2.2.

Передаточная функция WАБ(z) (рис. 2.12) соответствует алгоритму, который выполняет микроЭВМ. Так, если микроЭВМ реализует П-закон регулирования, то

WАБ(z)=kП. (2.22)

где kП – коэффициент передачи соответствующий пропорциональному звену (таблица 2.2, позиция 1).

Для И-закона регулирования, в соответствии с таблицей 2.2 (позиция 2)

. (2.23)

В общем случае микроЭВМ может выполнять любой закон и алгоритм регулирования.

Математическая модель в виде структурной схемы (рис. 2.12) позволяет определять передаточные функции разомкнутой, замкнутой системы, а также характеристическое уравнение и на их основе осуществлять ее анализ и синтез с помощью методов исследования линейных непрерывных САР, адаптированных применительно к дискретным системам, в том числе и к САР с микроЭВМ. Методы определения этих динамических характеристик аналогичны методам, используемых при определении передаточных функций и характеристического уравнения применительно к линейным непрерывным САР /2, 4, 5/.

Для структурной схемы, показанной на рис. 2.12:

–  передаточная функция замкнутой САР

; (2.24)

–  передаточная функция разомкнутой САР

WРАЗ(z)=WАБ(z)WПНЧ(z); (2.25)

–  характеристическое уравнение САР

1+WАБ(z)WПНЧ(z)=0. (2.26)

Для иллюстрации практического использования рассмотренного выше математического аппарата описания САР с микроЭВМ рассмотрим пример.

Пример 2.3. В САР угловой скорости электродвигателя постоянного тока /6/ применен принцип цифрового регулирования с помощью микроЭВМ. Для этого задействован один канал микроЭВМ в совокупности с АЦП и ЦАП, обеспечивающей формирование задающего воздействия, его сравнение с сигналом обратной связи и формирование алгоритма П-закона регулирования (рис. 2.13, 2.14). Используя рассмотренную поэтапную методику математического описания САР, необходимо определить характеристическое уравнение системы.

Рис. 2.13 – Принципиальная схема цифровой САР угловой скорости электродвигателя постоянного тока: 1 – УВК (микроЭВМ, АЦП, ЦАП); 2 – электронный усилитель; 3 – возбудитель; 4 – генератор; 5 – двигатель; 6 – тахогенератор; 7 – рабочий механизм (рабочая машина)

Рис. 2.14 – Функциональные схемы цифровой САР угловой скорости электродвигателя постоянного тока: ОР – объект регулирования (двигатель постоянного тока); ВО – воспринимающий орган (тахогенератор); СО – сравнивающий орган; ИЭ – импульсный элемент; АБ – алгоритмический блок; УО – усилительный орган (электронный усилитель); ИО1 – исполнительный орган 1 (возбудитель); ИО2 – исполнительный орган 2 (генератор); НЧ – непрерывная часть системы

Передаточные функции элементов непрерывной части САР (рис. 2.13) приведены ниже.

Передаточные функции объекта регулирования (двигателя совместно с рабочим механизмом) по регулирующему и задающему воздействиям соответственно

; (2.27)

, (2.28)

где kД=0,25 рад/(с·В) – передаточный коэффициент;

ТД=1 с – постоянная времени;

kМ=0,125 рад/(с·Н·м) – передаточный коэффициент.

Передаточная функция воспринимающего органа

WВО(p)=kТГ, (2.29)

где kТГ=1 В·с/рад – передаточный коэффициент.

Передаточная функция усилительного органа (электронного усилителя)

WУО(p)=kУ, (2.30)

где kУ=1…10 – коэффициент усиления усилителя (варьируемый параметр).

Передаточная функция исполнительного органа 1 (возбудителя)

, (2.31)

где kВ=5 – передаточный коэффициент;

ТВ=0,1 с – постоянная времени.

Передаточная функция исполнительного органа 2 (генератора)

, (2.32)

где kГ=5 – передаточный коэффициент;

ТГ=0,5 с – постоянная времени.

Заданное значение угловой скорости Ω=110 рад/с, максимальное значение момента сопротивления МС=МСmax=470 H·м.

Формирующее звено импульсного элемента описывается передаточной функцией (2.2). Тогда передаточную функцию приведенной непрерывной части САР в соответствии с (2.2) можно записать как

WПНЧ(p)=WФ(p)WНЧ(p). (2.33)

В этой формуле передаточная функция непрерывной части системы с учетом передаточных функций (2.27), (2.29)-(2.32)

, (2.34)

где k0=kТГkДkГkВkУ.

С учетом (2.2) и (2.34) передаточная функция приведенной непрерывной части САР

. (2.35)

Так как epT=z выражение в скобках

. (2.36)

Тогда с учетом (2.36) передаточная функция (2.35) примет вид

. (2.37)

Используя таблицу 2.2 (позицию 12) для выражения в квадратных скобках передаточной функции (2.37), получим дискретную передаточную функцию приведенной непрерывной части системы:

. (2.38)

После подстановки числовых значений параметров передаточных функций (2.27), (2.29)-(2.32), приняв T=0,1 с, kУ=10, и выполнения алгебраических преобразований, передаточная функция (2.38) примет следующий вид:

. (2.39)

Передаточная функция алгоритмического блока, реализующего П-закон регулирования

WАБ(z)=kП. (2.40)

С учетом функциональной схемы САР (рис. 2.14), на основе структурной схемы (рис. 2.12) и передаточных функций (2.39), (2.40), структурная схема цифровой САР примет вид, показанный на рис. 2.15.

Рис. 2.15 – Структурная схема цифровой САР угловой скорости двигателя постоянного тока

Приняв в (2.40) kП=1 (значение kП может быть и иным), подставив в (2.26) передаточные функции (2.39), (2.40) и выполнив необходимые алгебраические преобразования, получим искомое характеристическое уравнение в следующем виде

a0z3+a1z2+a2z+a3=0. (2.41)

где a0=9,42; a1= –19,85; a2=12,5; a3= –2,647.

4  АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ с микроЭВМ

4.1  Определение периода квантования непрерывных сигналов в цифровых системах

При определенных допущениях (пренебрежение эффектом квантования непрерывных сигналов по уровню), рассмотренных в п.2.4 САР с микроЭВМ – цифровую систему можно рассматривать как импульсную систему с амплитудно-импульсной модуляцией (рис. 2.9). При очень малых значениях периода квантования Т дискретный сигнал на выходе импульсного элемента практически не будет отличаться от входного непрерывного сигнала. В таком случае преобразование непрерывного сигнала происходит без искажения. При больших значениях периода квантования Т такое соответствие выходного дискретного сигнала с входным непрерывным может быть нарушено и преобразование непрерывного сигнала будет осуществляться с искажением (с потерей информации о сигнале). По этой причине, прежде чем решать задачи анализа и синтеза САР с микроЭВМ определяют значение периода квантования Т сигнала. Для этого используют теорему Котельникова[*], которая отражает общие условия неискаженного преобразования сигнала при квантовании по времени. Ее сущность заключается в следующем.