Системы автоматического регулирования с применением микроэвм (анализ и синтез систем) (стр. 7 )

Пример 3.3. Цифровая САР угловой скорости электродвигателя постоянного тока (пример 2.3), описывается характеристическим уравнением третьего порядка (2.41). Необходимо на его основе, используя билинейного преобразования, исследовать систему на устойчивость.

Преобразованное характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (2.41) имеет вид:

b0w3+b1w2+b2w+b3=0, (3.15)
где в соответствии с (3.14)

b0=a0–a1+a2–a3=9,42+19,85+12,5+2,647=44,417;

b1=3(a0+a3)–a1–a2=3(9,42–2,647)+19,85–12,5=27,669;

b2=3(a0–a3)+a1–a2=3(9,42+2,467)–19,85–12,5=3,851;

b3=a0+a1+a2+a3=9,42–19,85+12,5–2,647=-0,577.

Так как необходимое условие критерия Гурвица не выполняется (должны быть положительными все коэффициенты характеристического уравнения) – b3= –0,577<0, то исследуемая цифровая САР будет неустойчива.

При исследовании устойчивости дискретных САР с помощью критерия Михайлова на основе преобразованного характеристического уравнения (3.11) записывают характеристический полином

G(w)=b0wm+b1wm-1+…+bm-1w+bm, (3.16)
в котором производят замену w на jν, т. е. принимают w=jν, где ν – так называемая относительная псевдочастота.

Сущность понятия относительной псевдочастоты ν можно уяснить, подставив z=ejωT в выражение (3.10): , где

. (3.17)

Из анализа соотношения (3.17) следует, что псевдочастота ν однозначно зависит от периода квантования Т и представляет собой безразмерную величину.

После такой подстановки получают комплексное выражение

G(jν)=R(ν)+jQ(ν), (3.18)

где R(ν) и Q(ν) – соответственно вещественная и мнимая составляющая.

На основе (3.18) при изменении псевдочастоты ν от 0 до +∞ строят годограф на комплексной плоскости, по его расположению на которой оценивается устойчивость по аналогии с известным критерием Михайлова для линейных систем.

Пример 3.4. Исследовать цифровую САР, рассмотренную в примере 3.3, с помощью критерия Михайлова.

На основе преобразованного характеристического уравнения (3.15) записываем характеристический полином:

G(w)=b0w3+b1w2+b2w+b3,

Выполнив замену w=jν, получим:

G(jν)=b0(jν)3+b1(jν)2+b2(jν)+b3=(–b1ν2+b3)+j(–b0ν3+b2ν)=R(ν)+jQ(ν),

где R(ν)=(–b1ν2+b3)=(–27,669ν2–0,577) – вещественная часть;

Q(ν)=(–b0ν3+b2ν)=(–44,417ν3+3,851ν) – мнимая часть.

Подставляя в R(ν) и Q(ν) значения псевдочастоты ν от 0 до +∞, вычисляем их значения (таблица 3.1) и по данным расчета строим годограф (рис. 3.5).

Таблица 3.1 – Данные для построения годографа

ν	0	0,06	0,12	0,18	0,24	0,30	0,36	0,42	+∞
R(ν)	-0,577	-0,677	-0,975	-1,473	-2,171	-3,067	-4,163	-5,458	–∞
Q(ν)	0	0,221	0,385	0,434	0,310	-0,044	-0,686	-1,673	–∞

Рис. 3.5 – Годограф исследуемой цифровой САР

В соответствии с критерием Михайлова система устойчива, если годограф начинается на положительной вещественной оси и последовательно против часовой стрелки проходит количество квадрантов, равное порядку характеристического уравнения. Данное условие для исследуемой цифровой САР не выполняется, т. е. САР является неустойчивой, что согласуется с результатами исследований с помощью критерия Гурвица (пример 3.3).

4.2.3  Влияние периода квантования на устойчивость

Линейные САР первого и второго порядка всегда являются устойчивыми, для дискретных систем данное обстоятельство может нарушаться в зависимости от периода квантования.

Рассмотрим влияние дискретизации по времени на устойчивость на примере цифровой системы, состоящей из фиксатора нулевого порядка и непрерывной части сначала с передаточной функцией , а затем с /8/. Система без дискретного элемента, т. е. непрерывная система, устойчива при любом положительном k в обоих случаях.

В первом случае передаточная функция приведенной непрерывной части есть , и дискретная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

.

Отсюда для характеристического уравнения замкнутой системы имеем

.

Коэффициенты преобразованного характеристического уравнения в соответствии с (3.12) равны

,

,
и условие устойчивости принимает вид

Второе неравенство выполняется при любом положительном k, а первое – только при k<kГ, где kГ – граничный передаточный коэффициент системы, определяемый из условия b0=0:

.

При малом периоде (Т/Т0<<1), положив е–Т/Т0@1–Т/Т0, получим

. (3.19)

Из этого равенства следует: kГ→∞ при Т→0. Однако при конечном периоде, как бы он ни был мал, дискретная система устойчива не при любом передаточном коэффициенте системы.

Теперь рассмотрим случай, когда передаточная функция непрерывной части имеет вид .

Передаточная функция приведенной непрерывной части есть

,
и дискретная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

,

где , ,

d0=1, ,

.

При малом периоде (Т/Тm<<1, m=1, 2), воспользовавшись представлением е–x@1-x+x2/2, получим

, ,

, .

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

a0z2+a1z+a2=0.

Здесь

a0=kc0+d0=1,

,

.

Коэффициенты преобразованного характеристического уравнения в соответствии с (3.13) и условие устойчивости имеют вид

Первое и третье неравенства выполняются при любом положительном передаточном коэффициенте k, второе – только при k<kГ, где граничный передаточный коэффициент

. (3.20)

Из формулы (3.20) следует: kГ→∞ при Т→0.

Итак, дискретизация по времени может привести к неустойчивости даже системы 1-го и 2-го порядка. При этом, как и следовало ожидать, граничный передаточный коэффициент с уменьшением периода квантования увеличивается и стремится к бесконечности с приближением периода квантования к нулю.

4.3  Оценка качества цифровых систем

Качество цифровых САР определяется, также как и качество непрерывных систем, и для его оценки можно применять все показатели качества и их аналоги, рассматриваемые в теории непрерывных автоматических систем. Наиболее удобными из них являются прямые показатели качества. Для определения прямых показателей, которые находят графически, необходимо располагать графиком переходной функции (кривой разгона). Его можно построить по рассчитанной дискретной переходной функции, соединяя дискретные точки плавной кривой (рис. 3.6).

Рис. 3.6 – Переходная характеристика цифровой САР

Напомним, что прямыми показателями, найденными по кривой разгона (рис. 3.6), являются следующие:

–  установившееся статическое отклонение (статическая ошибка) – отклонение регулируемой величины от установившегося значения после окончания переходного процесса (ΔY=YЗАД–YУСТ);

–  время регулирования tР в течении которого отклонение переходной характеристики от установившегося значения YУСТ не превышает заданной величины Δ=(0,02-0,05)YУСТ;

–  перерегулирование (колебательность), определяемое разностью максимальной величины и ее значения в установившемся режиме как ;

–  количество перерегулирований – количество максимумов за время регулирования n (для графика, показанного на рис. 3.6, n=3);

–  логарифмический декремент затухания , где ΔY1=Y1–YУСТ, ΔY2=Y2–YУСТ, характеризующий скорость затухания переходного процесса.

Для расчета дискретной переходной функции теория импульсных и цифровых систем регулирования располагает целым рядом различных алгебраических и частотных методов /2, 4, 5, 8/, в том числе и, чаще всего используемым, методом на основе дискретного преобразования Лапласа. Его сущность аналогична определению переходной функции для линейных САР на основе передаточной функции замкнутой системы по задающему или возмущающему воздействию (находят выражение переходной функции, а затем с помощью обратного преобразования Лапласа получают формулу, по которой строят временной график переходной функции). Все эти аналитические методы, обеспечивающие достаточно высокую точность расчетов в силу своей сложности и большой трудоемкости теряют свою востребовательность, так как к настоящему времени разработаны высокоэффективные и достаточно удобные и более простые методы анализа САР на основе современных информационных технологий, к числу которых относятся методы структурного моделирования технических систем на компьютере. С их помощью очень просто можно получить в готовом для анализа виде переходные характеристики любой САР, в том числе и дискретной системы. В связи с этим упомянутые выше аналитические методы получения переходных функций в данном пособии не рассматриваются.