Системы автоматического регулирования с применением микроэвм (анализ и синтез систем) (стр. 6 )

Известно, что в любом непрерывном сигнале содержится определенный спектр гармонических составляющих с различными амплитудами и частотами. Для отображения спектрального состава непрерывных сигналов используют так называемую спектральную характеристику, представляющую собой зависимость энергии сигнала F(ω), однозначно зависящей от амплитуд гармонических составляющих, от их частот ω (рис. 3.1).

Рис. 3.1 – Спектральная характеристика непрерывного сигнала

Согласно теореме Котельникова непрерывный сигнал преобразуется без потери информации в дискретную последовательность (решетчатую функцию) с частотой квантования, ωК=2π/Т, если соблюдается следующие условие:

ωМ≤ωК/2 (3.1)

или

Т≤π/ωМ. (3.2)

При выполнении этого условия полностью отсутствует искажение преобразуемого непрерывного сигнала в дискретный. Это следует понимать в том смысле, что при восстановлении непрерывного сигнала на основе дискретной последовательности (решетчатой функции) (рис. 2.9), например простым интерполированием, весь спектр частот F(ω) будет полностью сохранен в восстановленном сигнале.

Для использования формулы (3.2) очевидно необходимо располагать спектральными характеристиками внешних входных воздействий на САР, что не всегда представляется возможным. Поэтому в практике анализа и синтеза дискретных САР при выборе периода квантования чаще используют амплитудно-частотную характеристику (АЧХ), непрерывной части системы (рис. 3.2).

Рис. 3.2 – АЧХ непрерывной части цифровой САР

При этом в формулу (3.2) вместо частоты ωМ подставляют частоту ωП – максимальную частоту пропускания, которую ориентированно принимают для А(ωП)=(0,05…0,10)А(ω0) (рис. 3.2). В таком случае условие для определения периода квантования (3.2), примет вид

Т≤π/ωП. (3.3)

Кроме выполнения рассмотренного выше условия теоремы Котельникова при определении периода квантования необходимо учитывать особенности обработки сигналов в автоматических системах с микроЭВМ. В таких САР, как отмечалось в п.1, аналоговые сигналы преобразуются в дискретные, которые в микроЭВМ обрабатываются с помощью программы по определенному алгоритму. Затем дискретные сигналы преобразуются в аналоговые, под действием которых и происходит изменение регулирующего воздействия на входе объекта регулирования. Для выполнения этих операций в одном канале необходимо определенное время для опроса датчика, задающего воздействия (для следящих систем), обработки непрерывного сигнала в АЦП, выполнения заданного алгоритма регулирования, преобразования дискретного сигнала регулирующего воздействия, а при необходимости для фильтрации сигналов. Таким образом, временную диаграмму работы УВК, в котором микроЭВМ обслуживает как регулятор N объектов регулирования, можно представить в виде, показанном на рис. 3.3.

Рис. 3.3 – Временная диаграмма работы N каналов УВК: τ1, τ2, τ3, …, τN – время обработки каждого канала; τР – резервное время (для выполнения диагностических операций, аварийных защит, блокировок и т. п.); τ0 – общее время работы УВК в пределах периода Т

Анализ временной диаграммы (рис. 3.3) показывает, что для нормальной работы УВК очевидно должно выполняться условие

τ0≤Т. (3.4)

Таким образом, период квантования Т с учетом (3.3) и (3.4) должен удовлетворять условию

τ0≤Т≤π/ωП. (3.5)

В практике расчетов дискретных систем получило распространение правило, вытекающее из теоремы Котельникова: частота квантования должна быть на порядок больше полосы существенных частот объекта регулирования (3.6), которые в основном и определяют полосу пропускания системы. Вытекающее из этого правила условие для выбора периода квантования, обеспечивающего неискажения непрерывного сигнала, можно записать как

Т≤0,1ТОmin, (3.6)

где ТОmin – минимальная постоянная времени объекта регулирования.

Под ТОmin понимают следующее: если микроЭВМ используют в мультиплексорном режиме в качестве регулятора для управления несколькими объектами, с разными постоянными времени, то в формулу (3.6) подставляют минимальное значение из них.

С учетом (3.6) условие для выбора периода квантования (3.5) в приближенном варианте примет вид

τ0≤Т≤0,1ТОmin. (3.7)

Период квантования Т является конструктивным параметром, и при его выборе на основе условия (3.5) или (3.7) принимают компромиссные решения, учитывая следующие противоречивые факторы: уменьшение периода квантования ограничивает сложность алгоритма регулирования и число обслуживаемых каналов одной микроЭВМ; увеличение периода квантования увеличивает время запаздывания в каналах преобразования и обработки сигналов и приводит к возрастанию информационных потерь, что соответствует ухудшению качества регулирования /3/.

При выборе периода квантования по возможности стараются выполнить полностью условие (3.5) или (3.7). В таком случае (так как выполняется правая часть этих условий) дискретная САР будет вести себя как непрерывная и при ее анализе и синтезе можно использовать методы теории непрерывных автоматических систем. Если при определении Т не возможно выполнить правую часть неравенства (3.5) или (3.7), то САР будет вести себя как чисто дискретная система и для ее анализа и синтеза следует использовать математический аппарат дискретных систем, отдельные положения которого приведены в п.2.

4.2  Устойчивость цифровых систем

4.2.1  Основное условие устойчивости

Как известно /4/устойчивость любой линейной САР определяется значениями корней характеристического уравнения: если корни характеристического уравнения на комплексной плоскости располагаются слева от мнимой оси, то система будет устойчивой, а если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то система неустойчивая (рис. 3.4 а).

Рис. 3.4 – Области расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости: 1 – для устойчивой системы; 2 – для неустойчивой системы

Согласно теории дискретных САР /2, 4, 5, 8/ область расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости для устойчивой системы ограничена единичной окружностью (рис. 3.4 б). Это означает, что если цифровая САР описывается характеристическим уравнением

a0zm+a1zm-1+…+am-1z+am=0, (3.8)
то для устойчивой системы модули всех m-корней должны быть меньше 1. То есть для устойчивости цифровой системы необходимо и достаточно, чтобы все модули |zi|<1. Если хотя бы модуль одного корня |zi|>1, система будет неустойчивой. Значением какого-либо корня |zi|=1 при всех остальных |zi|<1 определяется граница устойчивости цифровой системы.

Поясним сказанное следующим примером.

Пример 3.1. Характеристическое уравнение САР имеет вид

a0z2+a1z+a2=0, (3.9)

где a0=1; a1=-1; a2=0,5.

Его корнями является z1,2=0,5±j0,5. Их модули . Следовательно система устойчивая.

Пример 3.2. Динамика системы описывается уравнением (3.9), коэффициенты которого a0=1; a1=3; a2=10.

Корни уравнения (3.9), после подстановки в него числовых значений коэффициентов, определяться следующим образом:

z2+3z+10=0, .

Их модули , то есть данная система неустойчива.

Следовательно основное условие устойчивости дискретных САР формируется так: для того чтобы линейная или линеаризированая цифровая САР была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были по модулю меньше единицы, или, что тоже, находились на комплексной плоскости внутри единичного круга.

Рассмотренное выше условие устойчивости положено в основу корневого метода анализа дискретных систем, который применим для систем не высокого порядка. Это обусловлено тем, что определение корней уравнений выше четвертого порядка сопряжено с известными математическими сложностями. Кроме корневого метода для определения устойчивости импульсных и цифровых САР разработаны алгебраические и частотные методы, аналогичные методам анализа непрерывных систем /2, 4, 5, 8/. Из них наиболее простым и удобным для практического использования являются методы, базирующиеся на так называемом билинейном преобразовании, сущность которого рассмотрена в следующем параграфе.

4.2.2  Исследование устойчивости на основе билинейного преобразования

Билинейное преобразование, называемое еще как w-преобразование, заключается в следующем: в характеристическом уравнении дискретной САР (3.8) производится замена оператора z с учетом следующего соотношения

. (3.10)

В результате получается уравнение

,
которое после алгебраических преобразований приводится к так называемому преобразованному характеристическому уравнению

b0wm+b1wm-1+…+bm-1w+bm=0, (3.11)

где b0, b1, … bm-1, bm – коэффициенты выраженные через коэффициенты исходного уравнения (3.8).

Выражения коэффициентов приведенных характеристических уравнений первого (m=1), второго (m=2) и третьего (m=3) порядка имеют следующий вид:

m=1:

a0z+a1=0;

b0w+b1=0;

b0=a0–a1, b1=a0+a1; (3.12)

m=2:

a0z2+a1z+a2=0;

b0w2+b1w+b2=0;

b0=a0–a1+a2, b1=2(a0–a2), b2=a0+a1+a2; (3.13)

m=3:

a0z3+a1z2+a2z+a3=0;

b0w3+b1w2+b2w+b3=0;

b0=a0–a1+a2–a3, b1=3(a0+a3)–a1–a2, b2=3(a0–a3)+a1–a2, b3=a0+a1+a2+a3. (3.14)

Корни приведенного характеристического уравнения (3.11) как и корни исходного характеристического уравнения дискретной системы (3.8) определяют устойчивость дискретной системы, но при этом критерии существенно различные. Если для исходного уравнения (3.8) области расположения корней соответствуют рис. 3.4 б, то для приведенного уравнения (3.11) эти области будут соответствовать рис. 3.4 а. То есть условие устойчивости линейных дискретных систем на основе анализа корней приведенного характеристического уравнения будет идентичным основному условию устойчивости линейных непрерывных систем, которое сформулировано в начале п.3.2.1. Таким образом для анализа цифровых САР, используя приведенное характеристическое уравнение (3.11), можно применять критерии устойчивости Гурвица и Михайлова в обычной формулировке, применяемые при анализе линейных САР.