Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике (стр. 10 )

Если А [0;1/2] = Æ, А Î Fh то

.

(1)

Если А Ç [0;1/2] = Æ, А Î Fh, то

.

(2)

Рассмотрим теперь искомое условное математическое ожидание . Эта случайная величина должна быть Fh - измерима.

Докажем, что она почти наверно постоянна на [0;1/2]. В самом деле, если a и b – два значения z на [0;1/2], то должно пересекаться с [0;1/2]. Но ни одно собственное подмножество [0;1/2] не включается в Fh. Следовательно, . Точно так же . Отсюда следует, что а = =b, т. е. z на [0;1/2] постоянна почти наверно.

Поэтому из (1) и (2) следует, что в качестве z можно взять

.

(3)

14) Рассмотрим сначала структуру s - алгебры Fh, определяемой случайной величиной h. По определению эта s - алгебра порождается множествами , где В – любое борелевское множество на числовой прямой R. Пусть у Î В. Тогда оба решения уравнения принадлежат , т. е. это подмножество отрезка [0;1] должно быть симметричным относительно центра 1/2. Но это значит что любое подмножество, являющееся элементом Fh будет симметричным относительно 1/2. (См. рис.)

Возьмем теперь любое А Î Fh . Пусть .

Тогда .

Сделаем в интеграле по А2 замену w ® 1–w и учтем, что при этом направление интегрирования меняется на противоположное. Тогда

.

Так как постоянная функция очевидно измерима относительно Fh, то .

Интуитивно этот результат очевиден: он дает среднее значение случайной величины x в двух симметричных относительно 1/2 точках: и .

15) Найдем последовательно маргинальную плотность рh (y) и условную плотность р(x | h) (y):

;

.

Отсюда получаем

.

5. Винеровский процесс и интеграл Ито

6.ж) Применим формулу Ито

(4)

к функции : . Отсюда получаем

.

6. е) По формуле Ито (4) . Следовательно, .

9) Решение аналогичного обыкновенного дифференциального уравнения подсказывает, что решение стоит искать в виде: . Формула Ито (4), примененная к функции , дает:

.

Поставим полученное выражение в данное уравнение:

.

Остается решить обыкновенное дифференциальное уравнение

и получаем.

Ответы (Дискретные марковские цепи)

3) ; .

8)

3/7	4/7
1/11	10/11

9) .

11) Да. Да. Да, если .

12) , .

14) да.

15) Да. Да.

16) Нет.

17)

	Ø	А	В	С	АВ	АС	ВС	АВС
Ø	1	0	0	0	0	0	0	0
А	0	1	0	0	0	0	0	0
В	0	0	1	0	0	0	0	0
С	0	0	0	1	0	0	0	0
АВ	1/3	1/3	1/6	0	1/6	0	0	0
АС	2/9	4/9	0	1/9	0	2/9	0	0
ВС	1/6	0	1/3	1/6	0	0	1/3	0
АВС	0	0	0	4/9	0	2/9	2/9	1/9

18)

	Ø	А	В	С	АВ	АС	ВС	АВС
Ø	1	0	0	0	0	0	0	0
А	0	1	0	0	0	0	0	0
В	0	0	1	0	0	0	0	0
С	0	0	0	1	0	0	0	0
АВ	0	2/3	0	0	1/3	0	0	0
АС	0	0	0	1/3	0	2/3	0	0
ВС	0	0	1/2	0	0	0	1/2	0
АВС	1/9	2/9	1/18	1/9	1/9	2/9	1/18	1/9

20)

	(0,0)	(0,1)	(1,0)	(1,1)
(0,0)	q	p	0	0
(0,1)	0	0	q	p
(1,0)	q	p	0	0
(1,1)	0	0	q	p

21)

	0	1	2	3	4
0	0	1	0	0	0
1	0	0	1	0	0
2	0	0	0	1	0
3	p3	C32p2q	C31pq2	q3	0
4	p4	C43p3q	C41p2q2	C41pq3	q4

22) 2/9.

23) , , .

	0	1	2	3	…	N	N+1	N+2	…
0	0	1/N	1/N	1/N	…	1/N	0	0	…
1	0	0	1/N	1/N	…	1/N	1/N	0	…
2	0	0	0	1/N	…	1/N	1/N	1/N	…
3
…
N	0	0	0	0	…	0	1/N	1/N	…
…

33) Да.

38)

а) (6/17,7/17,2/17,2/17)

б) (0,3;0,4;0,3)

в) (4/41,17/41,16/41,4/41)

е) (2/13,3/13,3/13,5/13)

ж) (3/22,16/33,1/22,1/3)

к) (2/13,3/13,3/13,5/13)

л) (3/11,2/11,4/11,2/11)

м) (9/71,8/71,12/71,18/71,24/71)

п) (3/11,2/11,4/11,2/11)

40) 0,5.

41)

42) (0,42;0,52;0,06). Нет.

43) (1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6).

44) При второй.

45) , .

47) 1/6.

48) Нет.

49) Нет.

50) , .

52) Если случайные величины , , одинаково распределены, то цепь однородна.