Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике (стр. 7 )

16) Если то равно либо , если в момент n рабочий продолжает проверку дефектного изделия, пришедшего ранее, либо , если в момент n или ранее он закончил проверку дефектного изделия. Тогда равно 0 или 1 соответственно, то есть зависит от предыстории процесса.

17) Состояния марковской цепи: Ø, А, В, С, АВ, АС, ВС, АВС. Найдем, например, вероятности этих состояний при условии АС. Тогда Р(Ø/АС)=2/3·1/3=2/9, ибо танки А и С уничтожили друг друга; Р(А/АС)=2/3·2/3=4/9, т. е. танк А попал, а танк С промахнулся; Р(С/АС)=1/3·1/3=1/9, т. е. А промахнулся, а С попал; Р(АС/АС)=1/3·2/3=2/9, т. е. оба промахнулись; Р(АВ/АС)=Р(В/АС)=Р(ВС/АС)=Р(АВС/АС)=0 очевидно. Цепь марковская, ибо переход из одного состояния в другое зависит только от того, какие танки остались на поле боя после предыдущего залпа.

18) Состояние марковской цепи те же, что и предыдущей задаче. Найдем, например, вероятности этих состояний при условии АС. Тогда Р(С/АС)=1/3, т. е. С попал в А, а А не стреляет в С; Р(АС/АС)=2/3, т. е. С не попал в А, и А не стреляет в С; все остальные вероятности при условии АС очевидно равны нулю.

19) Если случайные величины независимы, то , т. е. строки одинаковы. Пусть строки одинаковы, т. е. , . Тогда

и , и далее по аналогии .

Следовательно, , т. е. случайные величины независимы.

20) в силу независимости случайных величин ; при этом при . С другой стороны

в силу независимости случайных величин ; при этом, если и , то эта вероятность равна нулю.

21) Обозначим через число самолетов, оставшихся на утро n-го дня, ; очевидно, что , , принимает значения от 0 до 4. Цепь марковская, т. к. число самолетов на сегодняшний день зависит только от числа самолетов, оставшихся со вчерашнего дня. Из состояния 0 можно перейти только в состояние 1, из состояния 1 только в состояние 2, из состояния 2 только в состояние 3, из состояния 3 можно перейти в состояния 0,1,2,3 соответственно с вероятностями р3, С32р2q, С31рq2, q3. Аналогично определяются вероятности перехода из состояния 4. Так как состояние 4 несущественное, то для доказательства регулярности цепи надо взять матрицу 4×4, образованную первыми четырьмя строками и первыми четырьмя столбцами построенной матрицы. Уже ее четвертая степень дает матрицу, все элементы которой положительны, т. е. цепь регулярная.

22) Если испытуемый в первый раз нажал на кнопку, то на втором табло горела зеленая лампочка, а тогда там все время будет гореть зеленая лампочка. Поэтому искомая вероятность равна произведению вероятности того, что на первом табло зажжется зеленая лампочка, и вероятности того, что в третий раз загорится синяя лампочка, т. е. Р(З/З)·Р(С/З)=1/3·2/3=2/9.

23)

в силу независимости случайных величин , , и аналогично

, т. е. цепь марковская. В силу того, что случайные величины , , одинаково распределены, цепь будет однородной.

Так как , то и

. В силу независимости случайных величин имеем

Поэтому при

.

Тогда

.

Матрица Р строится, исходя из равенства: .

24) а) Если i несущественное состояние, то по определению существует состояние j, в которое с положительной вероятностью, но вернуться в состояние i можно только с нулевой вероятностью. Если j существенное, то из него с положительной вероятностью можно перейти в любое существенное состояние, и утверждение доказано. Если j несущественное, то опять найдется состояние k … и т. д. Так как цепь конечна, то обязательно на этом пути встретится существенное состояние, ибо иначе цепь вернется в какое – то несущественное состояние с положительной вероятностью, что противоречит определению.

б) От противного. Если из существенного состояния i перешли в несущественное состояние j с положительной вероятностью, то из j можно перейти в некоторое состояние k с положительной вероятностью, но вернуться назад можно только с нулевой вероятностью. Если k существенное, то k и i сообщаются и поэтому можно вернуться в состояние j с положительной вероятностью, что противоречит определению. Если же k несущественное, то найдется состояние m … и т. д. Так как цепь конечна, то приходим к противоречию.

25) От противного: пусть состояние j несущественное и возвратное. Если вероятность когда-нибудь вернуться в состояние j, выйдя из него, то - вероятность никогда в него не вернуться, выйдя из него. По определению несущественного состояния существует целое и состояние i такое, что и для любого . Тогда , но для возвратного состояния , т. е. получили противоречие.

26) а) Пусть , , . Тогда существуют , такие, что и , откуда . Аналогично покажем, что существует такое, что . Следовательно, и , т. е. и .

б) От противного. Пусть , и существуют , такие, что , т. е. , и , т. е. . Так как , то существуют , такие, что и . Тогда . Аналогично покажем, что существует такое k, что . Следовательно, и принадлежат одному классу, т. е. и совпадают.