Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике (стр. 3 )

24. Для конечной цепи Маркова, состоящей из одного класса несущественных состояний и одного класса существенных состояний, доказать, что:

а) из несущественного состояния можно перейти в любое существенное с положительной вероятностью;

б) из существенного состояния нельзя перейти в несущественное с положительной вероятностью.

25. Доказать, что несущественное состояние не может быть возвратным.

26. Два состояния i и j марковской цепи отнесем к одному классу K, если существуют такие целые , , что . Введем на множестве классов состояний отношение «<»: будем говорить, что , если существуют состояния и целое такие, что . Доказать, что:

а) различные классы не пересекаются;

б) если , то не может быть ;

в) если и , то .

27. Состояния цепи Маркова - неотрицательные целые числа. Из состояния j, , за один шаг цепь переходит в состояние j+1 с вероятностью и в состояние ноль с вероятностью 1-. Доказать, что для того чтобы состояния цепи были возвратными, необходимо и достаточно, чтобы ряд расходился и >0, .

28. Доказать, что если j невозвратное состояние, то для любого состояния i марковской цепи .

29. Доказать, что если состояние j несущественное, то для любого состояния i при .

30. Доказать, что конечная неразложимая цепь Маркова является непериодической тогда и только тогда, когда существует целое такое, что для любых состояний i и k.

31. Доказать, что для неразложимой цепи Маркова среднее число возвращений в данное состояние, выйдя из него, либо конечно для всех состояний, либо бесконечно для всех состояний.

32. Доказать, что любая цепь Маркова с конечным числом состояний имеет по крайней мере одно возвратное состояние.

33. Пусть все состояния двух цепей Маркова с матрицами вероятностей перехода за один шаг и возвратны. Будут ли возвратны состояния цепи Маркова с матрицей вероятностей перехода за один шаг ?

34. Доказать, что в конечной цепи Маркова состояние возвратно тогда и только тогда, когда оно существенно.

35. Доказать, что цепь Маркова не является эргодической, если:

а) в ней имеется по крайней мере одно несущественное состояние;

б) в ней имеется по крайней мере два не сообщающихся состояния.

36. Пусть последовательность целочисленных случайных величин , , образует конечную эргодическую цепь Маркова. Положим , , ,. Доказать, что существует и для всех j, .

37. Доказать, что для любого состояния цепи Маркова вероятность возвращения в него бесконечное число раз равна 0 или 1, причем в первом случае состояние невозвратно, а во втором возвратно.

38. По виду матрицы переходных вероятностей за один шаг:

1) восстановить недостающие вероятности;

2) построить граф переходов;

3) выделить классы несущественных и существенных состояний;

4) найти возвратные, периодические, нулевые состояния;

5) выяснить, является ли марковская цепь периодической, и в случае утвердительного ответа выделить подклассы;

6) выяснить, является ли марковская цепь эргодической, и найти предельные вероятности;

7) Задав начальное распределение, найти вероятность за три шага попасть в третье состояние:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ; ж) ;

з) ; и) ;

к) ; л) ;

м) ; н) ; о) ;

п) .

39. Дать классификацию состояний марковской цепи, для неприводимых классов найти предельные вероятности, если переходные матрицы за один шаг имеют вид:

а)  ;

б)  ;

в)  ;

г)  ;

д)  .

40. Пусть каждый человек, услышавший новость, может передать ее другому; при этом вероятность искажения смысла на противоположный постоянна и равна р=0,000001. Какова вероятность услышать новость в неискаженном виде после того, как она «побывала» у большого числа людей?

41. У профессора три излюбленных вопроса, один из которых он задает на каждом экзамене. Он никогда не задает какой-либо из этих вопросов два раза подряд. Если в прошлый раз был задан вопрос А, то он бросает монету и задает вопрос В, если выпал герб. Если был задан вопрос В, то он бросает две монеты и задает вопрос С, если выпадет два герба. Если был задан вопрос С, то он бросает три монеты и задает вопрос А, если выпадет три герба. Какой вопрос он задает чаще всего?

42. Известно, что если погоду в данной местности характеризовать только следующими состояниями: облачно, дождь и хорошая погода, то запись текущей погоды образует марковскую цепь с матрицей вероятностей перехода . Предскажите погоду на один и на два дня вперед, если сегодня погода хорошая. Имеет ли смысл пользоваться монетой, для того, чтобы решить, брать ли с собой зонтик, выходя из дому? Предполагается, что погода устойчива в течение дня.

43. Пусть имеется три карты с номерами 1, 2, 3. Состоянием системы назовем последовательность номеров этих карт . Предположим, что с вероятностями ½ состояние переходит в состояния и . Показать, что эта система будет марковской цепью. Построить матрицу переходных вероятностей за один шаг и найти финальное распределение.

44. Вернувшись после долгого отсутствия в родной город, вы решили позвонить по телефону всем вашим старым друзьям и сообщить о своем приезде. Под руками у вас оказались две устаревшие телефонные книги, причем вас предупредили, что в одной из них неверно уже около трети всех номеров, а в другой – около четверти, но, в какой именно, неизвестно. Можно избрать две такие тактики поведения:

1) книга выбирается наугад и, если указанный в ней номер нужного вам телефона оказался правильным, вы продолжаете ею пользоваться, если нет – берете другую книгу;

2) метод двух проб: в случаях «правильный – правильный», «правильный – неправильный» и «неправильный – правильный» книга не меняется, в случае «неправильный – неправильный» надо перейти к другой книге.