Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике (стр. 5 )

1.  Выразить через условные вероятности события А.

2.  Показать, что для полной системы событий ?

3.  Если полная система событий состоит из 3 событий, то сколько событий в s–алгебре, порожденной этой системой?

4.  Если полная система событий состоит из п событий, то сколько событий в s–алгебре, порожденной этой системой?

5.  Опишите все события s–алгебры Fx.

6.  Пусть – случайный вектор. Опишите все события s–алгебры F x.

7.  Пусть – случайная величина, принимающая только значения 1, 2 и 3. Опишите все события s–алгебры F x.

8.  Пусть – полная система событий. Доказать, что если , то случайная величина x постоянна на каждом событии этой системы.

9.  Доказать, что как функция АÎ F при ВÎ F, Р(В) ¹ 0 будет вероятностной мерой на F.

10.  Доказать, что .

11.  Пусть случайная величина равномерно распределена на [-1; 1]. Тогда (по определению условного математического ожидания) является некоторой борелевской функцией от случайной величины . Нарисуйте график этой функции.

12.  Если h = а = const п. н., то п. н.. Доказать.

13.  Найти , если W = [0;1], Р – лебегова мера, , .

14.  Найти , если W = [0;1], Р – лебегова мера, , .

15.  Найти , если известна плотность случайного вектора : и в противном случае.

5. Винеровский процесс и интегралы Ито

Задачи

1.  Докажите, что, если винеровский процесс, то также винеровский процесс.

2.  Докажите, что, если винеровский процесс, то также винеровский процесс.

3.  Вычислить стохастический дифференциал Ито для процесса .

4.  Вычислить стохастический дифференциал Ито для процесса .

5.  Вычислить стохастический дифференциал Ито для процесса.

6.  Вычислить а).  ; б).  ; в).  ; г).  ; д).  ; е).  ; ж).  ; з).

7.  Вычислить .

8.  Составить дифференциальное стохастическое уравнение для .

9.  Решить дифференциальное стохастическое уравнение.

10.  Решить дифференциальное стохастическое уравнение , .

11.  Решить дифференциальное стохастическое уравнение, , .

Решения.

2. Дискретные марковские цепи.

1. а)

;

б)

; с другой стороны,

;

в)

в силу равенства б).

2. . Покажем, что :

и .

3. P(;

аналогично для .

Рассмотрим два оставшихся выражения:

и

в силу задачи 1.

4. Пусть , , подпоследовательность последовательности , . Тогда

, где сумма берется по всем попущенным индексам от 0 до и используется задача 1.

5). Положим . Тогда

если использовать задачу №1.

6).

Повторяя этот прием, приходим к выражению

.

7). Положим . Тогда =

=