Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике (стр. 1 )

Саратовский государственный университет им.

, ,

Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике

Часть 2

Случайные процессы

2009

Оглавление

Предисловие. 3

1. Введение в теорию случайных процессов. 4

2. Дискретные марковские цепи. 6

3. Корреляционная теория случайных процессов. 17

4. Условные математические ожидания. 21

5. Винеровский процесс и интегралы Ито. 22

Решения

2. Дискретные марковские цепи. 24

4. Условные математические ожидания. 42

5. Винеровский процесс и интеграл Ито. 45

Ответы (Дискретные марковские цепи) 47

Предисловие

Предлагаемый сборник задач предназначен для использования на семинарских занятиях по курсу «Теория случайных процессов» для студентов механико-математического факультета. Его цель – помочь студентам, овладевшим основами теории вероятностей, познакомиться с основными понятиями теории случайных процессов и овладеть методами решения задач, связанных с дискретными цепями Маркова, корреляционной теорией случайных процессов, винеровским процессом, интегралом Ито и стохастическими дифференциальными уравнениями. Отдельный раздел посвящен очень интересной теме – условные математические ожидания относительно σ – алгебры. Для части задач приведены решения. При составлении сборника использовались и известные задачи, возникшие в результате педагогической деятельности авторов.

Авторы будут благодарны за любые замечания, способствующие улучшению данного пособия.

1.  Введение в теорию случайных процессов

Задачи

1.  Является ли событием множество ?

2.  Является ли событием множество ?

3.  Является ли событием множество существует}?

4.  Будут ли траектории случайного процесса x(t) = x0t2 + x1t +x2, t Î (a, b), непрерывны в обычном смысле почти наверно на (a,b)?

5.  Будут ли траектории случайного процесса x(t) = x0t2 + x1t +x2, t Î (a,b), дифференцируемы в обычном смысле почти наверно на (a,b)?

6.  Является ли множество {w: Уравнение x0(w)t2 + x1(w)t +x2(w)=0 имеет действительные корни} событием?

7.  Является ли событием множество {w: Траектории процессов =x0(w)t+h0(w) и =x1(w)t+h1(w) параллельны}?

8.  Является ли событием множество {w: Траектории процессов =x0(w)t+h0(w) и =x1(w)t+h1(w) перпендикулярны}?

9.  Пусть случайные величины h1 и h2 равномерно распределены на отрезке [-2;2] и независимы. Чему равна вероятность Р(Траектории процессов tg(h1)t и tg(h2)t образуют острый угол меньше 45°)?

10.  Пусть случайная величина h равномерно распределена на отрезке [-1;1]. Чему равна вероятность Р(Траектория процесса h×t образует с положительной полуосью Ох острый угол больше 60°)?

11.  Пусть случайная величина h равномерно распределена на отрезке [-1;1]. Чему равна вероятность Р(Траектория процесса h×t образует с положительной полуосью Ох угол по модулю меньше 60°)?

12.  Пусть случайная величина h равномерно распределена на отрезке [-1;1]. Чему равна вероятность Р(Траектория процесса h×t образует с положительной полуосью Ох угол по модулю меньше 30°)?

13.  Пусть случайная величина h равномерно распределена на отрезке [-1;1]. Чему равна вероятность Р(Траектория процесса h×t образует с положительной полуосью Ох угол по модулю больше 30°)?

14.  Пусть случайная величина h имеет стандартное нормальное распределение. Чему равно математическое ожидание где действительные числа?

15.  Пусть случайные величины x и h независимы и имеют функции распределения Fx (x) и Fh(y) соответственно. Найти конечномерные распределения (до порядка 3 включительно) случайного процесса (t)=x t+h.

16.  Пусть случайные величины x и h независимы и имеют распределения: x – равномерное на [-1; 0] и h – равномерное на [0; 1]. Описать траектории случайного процесса z(t)=x t+h.

17.  Пусть случайные величины x и h независимы и имеют плотности распределения рx (x) и рh (y) соответственно. Для процесса z(t)=x t+h (1–t) найти плотность .

18.  Пусть x и h независимы и имеют распределения: x – равномерное на [-1,0] и h – равномерное на [0,1]. Описать траектории случайного процесса z(t)=x t+h.

2. Дискретные марковские цепи.

Задачи.

1. Пусть последовательность случайных величин , , образует цепь Маркова. Доказать, что для :

а)  ;

б)  ;

в) 

2. Пусть последовательность случайных величин , , образует цепь Маркова. Положим Пт. е. «прошлое»т. е. «настоящее»/ и т. е. «будущее»/. Доказать, что Р(ПБ/Н)=Р(П/Н)*Р(Б/Н).

3. Пусть последовательность случайных величин , , образует цепь Маркова. Выразить через переходные вероятности и начальное распределение вероятностей следующие величины: , , и .

4. Пусть последовательность случайных величин , , образует цепь Маркова. Доказать, что любая подпоследовательность этой последовательности также образует цепь Маркова.

5. Если , , цепь Маркова, то последовательность , , где натуральное, тоже образует цепь Маркова. Доказать.

6. Пусть случайные величины образуют цепь Маркова. Доказать, что случайные величины , где , , также образует цепь Маркова.

7. Если , , цепь Маркова, то последовательность , , где натуральное, тоже образует цепь Маркова. Доказать.

8. Пусть - номер состояния в цепи Маркова в момент времени , матрица вероятностей перехода равна и начальное распределение . Положим Доказать, что последовательность , является цепью Маркова, и найти для этой цепи матрицу Р.