Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике (стр. 9 )

43) Система образует цепь Маркова, так как вероятность попадание в данное состояние зависит – по определению – только от предшествующего состояния. Матрица переходных вероятностей P имеет вид:

Предельные вероятности находятся из системы

44) Рассмотрим марковскую цепь с двумя состояниями: (кн.1, кн. 2). Для первой тактики поведения матрица переходных вероятностей имеет вид

	Кн.1	Кн.2
Кн.1	2/3	1/3
Кн.2	1/4	3/4

так как в первой книге неверна треть всех номеров, а во второй – четверть всех номеров. В этом случае стационарное распределение имеет вид (3/7,4/7), т. е. первая книга выбирается с вероятностью 3/7, вторая – 4/7. Тогда средняя доля правильных звонков равна 2/3·3/7+3/4·4/7=5/7≈0,714.

Для второй тактики поведения матрица переходных вероятностей имеет вид

	Кн.1	Кн.2
Кн.1	8/9	1/9
Кн.2	1/16	5/16

так как вероятность перехода от первой книги ко второй равна (1/3)2, а от второй к первой (1/4)2. В этом случае стационарное распределение имеет вид (9/25,16/25). Тогда средняя доля правильных звонков равна 2/3·9/25+3/4·16/25=18/25=0,72.

45) , , , при , где , и число черных шаров в первой урне равно j. Если - предельное распределение, то

, ,

и т. д. Тогда , , и т. д. Так как , то и , .

46) Для каждого шахматиста строим марковскую цепь с состояниями: выигрыш, ничья, проигрыш. Для шахматиста А матрица вероятностей перехода за один шаг имеет вид: , для шахматиста В она имеет вид: .

Предельное распределение для шахматиста А имеет вид , для шахматиста В . Таким образом, при большом числе партий доля выигрышей у В больше, чем у А, если и или и . Если , то все одинаково.

47) Ситуация описывается марковской цепью, состояния которой цифры на той грани, на которой кубик лежит. Матрица переходных вероятностей за 1 шаг имеет вид:

.

Так как Р(2)=Р2>0, то цепь эргодическая и предельное распределение существует и находится как решение системы уравнений , .

48) Покажем, что . Введем события

,

,

. Очевидно, что и . Тогда и .

49) .

В силу теоремы Маркова для конечной цепи регулярность эквивалентна эргодичности цепи, а эта последняя эквивалентна для конечной цепи ее неразложимости и непериодичности. Эта цепь неразложима и периодическая с периодом d=2, т. е. не будет регулярной.

50) Марковская цепь представляет собой один класс существенных сообщающихся между собой состояний. Так как , то состояние 1 непериодическое, а поэтому все непериодические. Так как вероятность вернуться в состояние 1 впервые, выйдя из него на 1-м, 2-м, …, n-м шаге, равны соответственно , ,…, и при , то , т. е. состояние 1 возвратно, а потому все возвратные. Цепь регулярная, так как Р(n)=Рn>0, а следовательно эргодическая, и поэтому предельное распределение существует и находится из системы уравнений

51) Предположим, что все состояния несущественные. Если i несущественное состояние, то найдется состояние k, в которое можно перейти с положительной вероятностью, а назад вернуться нельзя. Так как k несущественное, то найдется состояние m и т. д. Но цепь конечная, а потому обязательно будет возврат в какое-то несущественное состояние с положительной вероятностью, что противоречит определению несущественного состояния.

52)

в силу независимости случайных величин ; аналогично считается .

4. Условные математические ожидания

1) Так как случайные величины IA и IВ – дискретные, то

Другое решение. Определяемая случайной величиной IB s - алгебра FВ состоит из 4 множеств: W, Æ, В и . Тогда

. Так же

. Очевидно, что вообще для любой случайной величины x и . Наконец,

.

Таким образом, если положить , то

F .

12) Так как h – дискретная случайная величина с распределением Р(h = а)=1, то рассмотрим , где. Если b = a, то , и так как Р(А) = 1, то

.

Действительно, вероятностные меры Р и РА совпадают, потому что для любого события С, так как .

Другое решение: Определяемую случайной величиной h s - алгебру Fh можно считать состоящей из двух множеств: W и Æ. Так как и , то Fh .

13) Определяемая случайной величиной h s - алгебра Fh порождается событиями и всеми борелевскими множествами, принадлежащими [1/2;1], т. е. Fh = {[0;1/2]B; B}, где B Î (1/2; 1] – борелевское.