Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике (стр. 6 )

=, где сумма берется по всем пропущенным номерам от нуля до (n-1)m и используется задача №1.

8). Введем событие , состоящее в том, что случайные величины могут принимать значения из множества в зависимости от значений случайных величин . Тогда

в силу того, что исходная цепь марковская.

Аналогично

,

, так же вычисляется

Следовательно, последовательность является цепью Маркова. Найдем матрицу вероятностей перехода за 1 шаг: , тогда ;

, а тогда .

Замечание. Запись , означает, что - либо , либо .

9). По аналогии с задачей №8 доказывается, что последовательность , образует марковскую цепь. Найдем условие однородности этой цепи:

, для однородной цепи это выражение не зависит от , поэтому , .

10.

в силу независимости случайной величины от случайных величин .

11. а) Да, ибо

в силу независимости случайных величин , . С другой стороны

по той же причине.

б) Да, ибо

в силу независимости случайных величин , . С другой стороны .

в) Да, если , нет – при . Действительно, при :

, но

где и аналогично , т. е. .

С другой стороны,

в силу независимости случайных величин , .

Если , то положим, например, .

Тогда

, но

.

12)

.

С другой стороны

, в силу независимости случайных величин , таким образом последовательность , образует марковскую цепь. Найдем матрицу P переходных вероятностей за 1 шаг:

,

и так далее.

13) Если , то .

Тогда

.

Так как по условию, то

и поэтому цепь марковская.

14) Если , то в момент длина очереди равна , где

, то есть , где .

Тогда

в силу независимости случайных величин . Аналогично вычисляем .

15) а) , где либо , либо и случайные величины , независимы. Тогда и

в силу независимости случайных величин . Аналогично вычисляем .

б) , где равно либо 1, либо -1, и случайные величины независимы. Тогда

. Аналогично вычисляется

.