Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике (стр. 8 )

в) Так как , то существуют , , , такие, что ; аналогично влечет существование , , , таких, что . Но , , т. е. существует такое, что . Тогда , т. е. .

27) Состояние j возвратно, если , где и - вероятность первого попадания в состояние j за n шагов, выйдя из него. Так как цепь состоит из существенных сообщающихся между собой состояний, то для доказательства возвратности можно выбрать любое состояние. Положим j=0. Тогда , , ,…, и т. д. Найдем

. Следовательно, тогда и только тогда, когда произведение сходится к нулю, критерием чего является сходимость ряда и условие , .

28) Так как состояние j невозвратное, то ряд сходящийся, т. е. . Очевидно, что

. Тогда

29) См. решение задач 25 и 28.

30) Так как , то из следует ; если бы цепь была периодической с периодом d, то d/n и d/n+1, т. е. d=1, и получили противоречие ( означает, что все элементы этой матрицы больше нуля).

Если цепь непериодическая и неразложимая, то имеет место эргодическая теорема Маркова для конечной цепи, т. е. существуют пределы для любых состояний i и k. В силу конечности цепи найдется такое n, что для любых состояний i и k.

31) Пусть

где , , марковская цепь. Тогда есть число возвращений в состояние j, выйдя из него. Среднее число возвращений равно

, а эта сумма – в силу критерия возвратности состояния – либо конечна, либо нет для всех состояний неразложимой цепи.

32) Так как , то существует состояние j такое, что не стремится к нулю при . Если бы все состояния были невозвратными, то для любого состояния i в силу задачи 28 при , т. е. получили противоречие.

33) Применить критерий возвратности, заметив что .

34) Пусть состояние i возвратное, но несущественное. Тогда существуют состояние j и n≥1 такие, что и для любого k≥1. Обозначим через вероятность события «вернуться в состояние i когда-нибудь, выйдя из него». Тогда это событие влечет событие А={цепь не попадает в состояние j, выйди из состояния i}, так как для всех k≥1. Тогда , что приводит к противоречию, ибо для возвратного состояния.

Пусть теперь состояние i существенно. Если состояние i не сообщается с другими состояниями, то для всех n≥1, т. е. i возвратное. Если состояние i сообщается с другими состояниями, то в силу задачи 32 одно из них возвратное, а следовательно все возвратные.

35) а) Если i несущественное состояние, то существует такое состояние j, что для любого n≥1, т. е. .

б) Если i и j не сообщающиеся состояния, то либо , либо для любого n≥1, т. е. либо , либо .

36) Так как стремится к при , где , в силу эргодичности, то стремится к величине при ; при этом в силу эргодической теоремы.

37) Пусть вероятность, выйдя из состояния i, вернуться в него впервые на n-м шаге, тогда вероятность когда-нибудь вернуться в состояние i, выйдя из него. Если вероятность, выйдя из состояния i, возвращаться в него, по крайней мере N раз, то по ФПВ

. Тогда - вероятность, выйдя из состояния i, возвращаться в него бесконечное число раз, равна , т. е. равна 1, если (состояние i возвратно), или равна 0, если (состояние i невозвратно).

40) Ситуация описывается марковской цепью с двумя состояниями: 1 – новость сохраняет смысл, 2 – смысл новости меняется на противоположный, причем . Система уравнений для предельных вероятностей имеет вид:

41) Ситуация описывается марковской цепью с тремя состояниями: А, В, С. Матрица переходов за один шаг имеет вид . Так как Р2>0, то цепь регулярная, т. е. существуют предельные вероятности. Для их описания составляется система уравнений:

42) Предсказать погоду на следующий день можно по матрице P, а на два дня по матрице P(2)=P2. Для решения вопроса об использовании монеты надо найти предельное распределение, которое существует, так как P>0, т. е. цепь регулярная, т. е. эргодическая.