Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике (стр. 2 )

9. Пусть последовательность случайных величин , , является цепью Маркова с матрицей и множеством состояний {1,2,3}. Положим При каком условии последовательность случайных величин , также является однородной цепью Маркова?

10. Пусть , , независимые случайные величины с дискретным распределением, - некоторые измеримые функции. Доказать, что последовательность случайных величин , , где , образует цепь Маркова.

11. Пусть , , последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения 1 и -1 с вероятностями p и q=1-р соответственно. Положим а) , ; б) , ; в) , . Будет ли последовательность , , цепью Маркова?

12. Пусть , , последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения 1 и -1 с вероятностями p и q=1-р соответственно. Доказать, что последовательность , , где φ(-1,-1)=1, φ(-1,1)=2, φ(1,-1)=3, φ(1,1)=4, является цепью Маркова и построить матрицу Р для нее.

13. Пусть , последовательность случайных величин, принимающих значение в множестве Х. Если для любого и любых выполняется соотношение

, то последовательность случайных величин , , является цепью Маркова и для любых . Доказать.

14. На стоянку такси через единичные моменты времени прибывают машины (по одной в каждый момент). Если на стоянке нет ожидающих, то машина сразу уезжает. Обозначим через число пассажиров, приходящих в момент k на стоянку, и будем считать, что - независимые случайные величины. Пусть длина очереди в момент времени k, =0. Будет ли последовательность случайных величин , марковской цепью?

15. В начальный момент в урне белых и черных шаров. Через каждую единицу времени из урны (без возвращения) извлекается один шар. Пусть – число белых, а – число чёрных шаров в урне в момент времени k. Какие из указанных ниже последовательностей образуют цепь Маркова:

а) , ;

б) , ?

16. К рабочему, стоящему на контроле, через минуту поступают изделия, причём каждое из них независимо от других может оказаться дефектным с вероятностью p, 0<p<1. Поступившие изделия рабочий одно за другим проверяет, затрачивая на проверку каждого по одной минуте. Если изделие оказывается дефектным, то он прекращает проверку других изделий и исправляет дефектное, на что уходит ещё 5 минут. Пусть – число изделий, скопившихся у рабочего через n минут после начала работы. Будет ли последовательность случайных величин , , цепью Маркова?

17. Три танка ведут бой, каждый с двумя другими. Танк A уничтожает танк, по которому он ведёт огонь, с вероятностью 2/3, танк B – с вероятностью 1/2, танк C – с вероятностью 1/3. Танки открывают огонь одновременно, и каждый стреляет по сильнейшему из не уничтоженных к этому моменту противников. Написать матрицу вероятностей перехода за один шаг марковской цепи, состояниями которой будут множества танков, которые еще действуют в данный момент.

18. Три танка ведут бой, танк А стреляет в танк В, танк В – в танк С, танк С – в танк А. Танк А уничтожает танк В с вероятностью 2/3, танк В уничтожает танк С с вероятностью 1/2, танк С уничтожает танк А с вероятностью 1/3. Танки открывают огонь одновременно. Написать матрицу вероятностей перехода за один шаг марковской цепи, состояниями которой будут множества танков, которые еще действуют в данный момент.

19. Пусть последовательность случайных величин , , образует однородную цепь Маркова. Доказать, что для того чтобы случайные величины были независимы, необходимо и достаточно, чтобы все строки матрицы вероятностей перехода за один шаг были одинаковы.

20. Пусть , , последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения 1 и 0 с вероятностями p и q=1-p соответственно. Доказать, что последовательность пар , , образует цепь Маркова и найти матрицу Р вероятностей перехода за один шаг.

21. Эскадрилья бомбардировщиков состоит из четырех самолетов. Боевое задание она получает один раз в день. Если к концу дня из-за потерь, нанесенных противником, наличный состав самолетов уменьшается до нуля, одного или двух, то командир эскадрильи получает один самолет из резерва; этот самолет доставляется ночью. Если наличный состав равен трем или четырем самолетам, то командир не имеет права на пополнение. На следующий день, если в наличии имеется три или четыре самолета, то задание эскадрилье дается; в противном случае задание отменяется. Во время выполнения задания каждый самолет может быть выведен из строя с вероятностью р.

Ввести понятие состояния эскадрильи так, чтобы функционирование эскадрильи можно было описать с помощью цепи Маркова, построить матрицу Р и исследовать ее на регулярность.

22. Перед испытуемым находятся два табло с синими и зелеными лампочками. Последовательности зажигания описываются Марковскими цепями с матрицами перехода за один шаг

1) 2) .

Испытуемый должен нажать на кнопку, если на обоих табло зажегся зеленый свет. С какой вероятностью после двух правильных нажатий подряд он может ожидать ситуацию, когда не надо нажимать?

23. Пусть , , , где , , последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Доказать, что последовательность , , образует однородную Марковскую цепь, найти , и , построить матрицу переходных вероятностей за один шаг, если случайные величины , , равномерно распределены на множестве .