Примерный тематический план изучения раздела (стр. 10 )

       Под проекцией (изображением) пространственной фигуры понимают совокупность проекций всех её точек.

       Точка называется заданной на проекционном чертеже, если известны её проекция и вторичная проекция, т. е. пара точек и .

       Изображение фигуры называется полным, если каждая точка , принадлежащая фигуре , является заданной на проекционном чертеже.

       В результате, изображение призмы (пирамиды) принято считать проекционным чертежом, на котором каждая точка изображена вместе с её параллельной (центральной) проекцией на плоскость основания. В призме направление проектирования определяется боковым ребром. В пирамиде центром проектирования является её вершина.

       II. Для решения многих геометрических задач, связанных с многогранниками, приходится строить их сечения различными плоскостями. Плоскость называется секущей, если по обе стороны от неё имеются точки данного многогранника.

       В общем случае секущая плоскость пересекает плоскость каждой грани многогранника и каждую из прямых, на которых лежат рёбра многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называют следом секущей плоскости на плоскости этой грани, а точку, в которой секущая плоскость пересекает прямую, содержащую какое-нибудь ребро, называют следом секущей плоскости на этой прямой. Если секущая плоскость пересекает непосредственно грань многогранника, то можно также говорить о следе секущей плоскости на грани в виде отрезка и аналогично о следе на ребре.

       Многоугольник, сторонами которого являются следы секущей плоскости на гранях, называется сечением многогранника.

       Наиболее распространённым является способ задания секущей плоскости тремя точками, не лежащими на одной прямой, что обосновывается первой аксиомой стереометрии.

       Если при построении сечения сначала строится след секущей плоскости на плоскости какой-нибудь грани многогранника, затем строится след соответствующего ребра, лежащего в этой грани, на плоскости сечения, далее строится след секущей плоскости на другой грани многогранника и т. д., то говорят, что используется метод следов.

       

Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических положений

Задача 79. Дан проекционный чертёж точек и (рис. 11а). Постройте изображение точки пересечения прямой с плоскостью проекций.

  а  б

Рисунок-11

Построение. Искомой будет точка - точка пересечения прямых и (рис. 11б).

Комментарий к задаче

1) Действительно единственным решением данной задачи будет точка пересечения исходной прямой с её проекцией. Причём задача не всегда имеет решение, т. к. исходная прямая и её проекция могут оказаться параллельными, т. е. исходная прямая может быть параллельна плоскости проекций.

2)  Данная задача иллюстрирует эффективное построение точки пересечения прямой и плоскости: для того, чтобы построить точку пересечения прямой с плоскостью, нужно спроектировать данную прямую на заданную плоскость и найти точку пересечения данной прямой с её проекцией.

Задача 80. Дана пирамида и точки и в гранях и . Постройте точки пересечения прямой с плоскостями всех граней пирамиды.

Построение. Очевидно, что точками пересечения прямой с плоскостями боковых граней и являются соответственно точки и .

Точки и - проекции точек и на плоскость проекций (плоскость основания пирамиды), получаются как точки пересечения прямых  и соответственно с прямыми и (рис. 12).

Строим точку пересечения прямой с плоскостью основания как точку пересечения прямых и - точку .

Пусть прямая пересекает прямые и соответственно в точках и . Тогда прямые и - линии пересечения плоскости с плоскостями граней и соответственно.

Далее строим точки и - точки пересечения прямой с плоскостями боковых граней и , как точки пересечения прямой с прямыми и соответственно.

  Рисунок-12

Комментарий к задаче

1) Данная задача иллюстрирует, что изображение пирамиды можно рассматривать как проекционный чертёж, на котором каждая точка может быть рассмотрена вместе с её центральной проекцией на плоскость основания пирамиды; центром проектирования является вершина пирамида. На основе этого была построена точка пересечения заданной прямой с плоскостью основания пирамиды.

2) Так же в задаче наглядно показано, что если существует точка пересечения прямой с плоскостью, то она обязательно принадлежит линии пересечения заданной плоскости с плоскостью, содержащей заданную прямую. На основе указанного факта были получены последние две точки пересечения заданной прямой с плоскостями боковых граней пирамиды.

Задача 81. На рёбрах , и призмы заданы соответственно точки , и (рис. 13). Постройте след секущей плоскости на плоскости нижнего основания.