Примерный тематический план изучения раздела (стр. 3 )

2) Следует также особо обратить внимание на применение метода «от противного» при решении задачи 2, что позволило доказать принадлежность прямой плоскости.

Часть теоретического материала темы содержится в задачном материале учебника [1] в виде задач-теорем, которые не всегда чётко выделены. Например, представленные далее задачи 3-6. Эти задачи отражают дополнительные свойства различных случаев взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве. Зачастую, теоретическое положение, полученное в ходе решения одной из таких задач, становится основой для решения следующей задачи.  Например, при решении задачи 4, представленной далее, кроме основных теоретических положений темы,  используется утверждение, доказанное в задаче 3; при решении задачи 5 - утверждение, доказанное в задаче 4; при решении задачи 6 - утверждение, доказанное в задаче 5.

Задача 3. Докажите, что если прямая  пересекает плоскость , то она также пересекает любую плоскость, параллельную данной плоскости.

Доказательство. Рассмотрим произвольную

плоскость . Через произвольную точку

плоскости , не лежащую на прямой (рис. 3),

проведём прямую , параллельную прямой .

Так как прямая пересекает  плоскость , то

прямая  тоже пересекает эту плоскость

(по лемме о пересечении плоскости

параллельными прямыми). Учитывая, что,

т. е. у них не может быть общих точек, значит

прямая  не может лежать в плоскости , т. е.

пересекает плоскость  в точке . Поэтому

прямая  тоже пересекает  плоскость .  Рисунок-3

Задача 4. Прямая  параллельна одной из двух параллельных плоскостей. Докажите, что эта прямая либо параллельна другой плоскости, либо лежит в ней.

Доказательство. Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости: а) прямая лежит в плоскости; б) прямая параллельна плоскости; в) прямая пересекает плоскость. Если данная прямая пересекает вторую плоскость, то она обязана пересекать и первую (см. задачу 3), но прямая параллельна первой плоскости. Значит, случай в) невозможен.

Задача 5. Плоскости и параллельны, – точка плоскости . Докажите, что любая прямая, проходящая через точку и параллельная плоскости , лежит в плоскости .

       Доказательство. Пусть прямая проходит через точку и параллельна плоскости . Тогда (см. задачу 4) прямая либо параллельна плоскости , либо лежит в ней. Но параллельность прямой плоскости не возможна в силу наличия у них общей точки – точки . Значит, прямая лежит в плоскости .

Задача 6. Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к данной прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.

  Доказательство. Пусть и . Тогда

  прямая пересекает плоскость , например, в

  точке (рис. 4). Докажем, что .

  Возьмём в плоскости произвольную

  прямую . Через точку плоскости

  проведём прямую . Тогда (по признаку

  параллельности прямой и плоскости)

  прямая . В результате (см. задачу 5)

  прямая лежит в плоскости . Так как ,

  а прямая лежит в плоскости , то ,

  значит  (по лемме о перпендикулярности

  двух параллельных прямых к третьей прямой).

  Рисунок-4  Следовательно, по определению перпендикулярности прямой и плоскости .

Комментарий к задачам 3-6.

Рассмотренные задачи наглядно иллюстрируют тот факт, что при решении многих задач темы используется перебор возможных вариантов взаимного расположения рассматриваемых простейших фигур в пространстве. Это позволяет отсеять невозможные случаи их расположения и прийти к тому, что требуется доказать.

Задачи

7. Докажите, что через любые три точки проходит плоскость.

8. Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.

9. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

10. Две прямые пересекаются в точке . Докажите, что все прямые, не проходящие через точку и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости.