Примерный тематический план изучения раздела (стр. 6 )

6) через данную точку провести плоскость, параллельную данной плоскости;

       7) через каждую из двух скрещивающих прямых провести плоскость так, чтобы эти плоскости были параллельны;

       8) через данную точку провести плоскость, перпендикулярную данной прямой;

       9) через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной плоскости;

       10) построить общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.

Построения, выполняемые в процессе решения этих задач, становятся «инструментом» и в дальнейшем применении подробно не описываются.

Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических положений

Задача 49. Даны скрещивающиеся прямые и . Постройте плоскость, проходящую через прямую и параллельную прямой .

Анализ. Предположим, что плоскость – искомая, т. е. проходит через прямую и параллельна прямой . Так как , то в плоскости существует прямая , параллельная прямой (см. задачу 1). Прямые и скрещиваются, поэтому прямые и могут только пересекаться. Тогда плоскость можно задать пересекающимися прямыми и (теорема-следствие 2 из аксиом).

  Построение. На прямой возьмём

  произвольную точку (рис. 5). Через точку

  проведём прямую (III 2). Прямые и

  пересекаются. Проведём через них плоскость

  . Плоскость – искомая.

  Доказательство. Прямая лежит в плоскости

  по построению. по признаку

  параллельности прямой и плоскости.

  Исследование. Т. к. точка произвольна, то

  Рисунок-5  может возникнуть предположение, что задача имеет несколько решений. Докажем, что это неверно и искомая плоскость единственная. Если предположим, что построена еще плоскость , проходящая через прямую и параллельная прямой , то в ней через точку пройдёт прямая, параллельная прямой , что противоречит теореме о параллельных прямых [1, п. 4].

Комментарий к задаче

1) При решении задачи применялся метод нисходящего анализа, который традиционно используется для решения задач на воображаемые построения. Поэтому потребовалось последовательно и подробно описывать все этапы решения задачи на построения.

2) Задача наглядно иллюстрирует, что в стереометрии под действиями «взять точку», «провести прямую», «построить плоскость» понимаются логические операции, состоящие из ссылок на аксиомы, определения понятий, теоремы, уже решённые задачи, утверждающие существование того или иного объекта.

Задача 50. Даны точка и две плоскости и . Постройте плоскость , проходящую через точку и перпендикулярную плоскостям и .

Решение. Данные плоскости и либо параллельны, либо пересекаются. Поэтому рассмотрим два случая.

(рис. 6а). В этом случае

достаточно провести плоскость,

перпендикулярную одной из данных

плоскостей, например, плоскости .

Чтобы плоскости и были

перпендикулярны, достаточно, чтобы

плоскость проходила через прямую,

перпендикулярную к плоскости .

Поэтому проводим через точку

прямую , перпендикулярную данной

плоскости (III 9).  Любая плоскость,

  проходящая через прямую , искомая

  Рисунок-6а 

  (по признаку перпендикулярности

  плоскостей).

  Задача в данном случае имеет

  бесконечно много решений. 

  2. Плоскости и пересекаются

  (рис. 6б). В этом случае достаточно через

  точку провести плоскость,

  перпендикулярную линии пересечения

  Рисунок-6б  плоскостей (III 8).  Задача в данном случае

  имеет единственное решение.

Комментарий к задаче

Задача решена методом восходящего анализа, поэтому не требовалось отдельно подробно описывать все этапы решения задачи на построения. Они проходились в процессе решения задачи параллельно для каждого из возможных случаев.

Задачи

51. Постройте прямую, пересекающую две данные скрещивающиеся прямые и параллельную данной плоскости.

52. Даны пересекающиеся плоскости и . Постройте плоскость, проходящую через точки и , параллельную линии пересечения  плоскостей и .