Примерный тематический план изучения раздела (стр. 8 )

       Вообще, ко всем видам изображений пространственных фигур предъявляются такие требования:

изображение должно быть верным, т. е. оно должно представлять собой фигуру, подобную произвольной проекции оригинала; изображение должно быть по возможности наглядным, т. е. должно вызвать пространственное представление об оригинале (для достижения большей наглядности изображения, например, так называемые невидимые линии изображают пунктиром); изображение должно быть легко выполнимым, т. е. правила построения должны быть максимально простыми.

Поэтому, при построении изображения призмы сначала изображается одно её основание, затем задаётся боковое ребро, а под конец другое основание, стороны которого параллельны соответствующим сторонам первого основания, и оставшиеся боковые рёбра, параллельные исходному боковому ребру. Если призма прямая, то боковое ребро из соображений наглядности принято изображать в виде отрезка вертикальной прямой, как и любой перпендикуляр к основной плоскости.

При построении изображения пирамиды сначала изображается её основание, затем находится основание высоты пирамиды (если расположение его можно точно задать в плоскости основания), затем в виде отрезка вертикальной прямой изображается высота пирамиды и, в результате соединения вершины пирамиды со всеми вершинами основания, получаются боковые рёбра пирамиды.

Задача 62.  На изображении равнобедренного треугольника, у которого боковая сторона втрое больше основания, постройте изображение высоты, проведённой к боковой стороне.

Решение. Рассмотрим несколько способов решения данной задачи, подробно не разделяя этапы решения.

1 способ Рассмотрим в оригинале равнобедренный треугольник (рис. 8а). Пусть в нём построена высота к боковой стороне. Тогда, отметив на точку , такую, что , 

  получим равнобедренный треугольник , в

  котором также является высотой. Рассмотрим,

  как проходят в нём другие высоты. Т. к. треугольник

  - равнобедренный (), то

  - медиана и высота.  Третья высота будет

  проходить через точку пересечения и -

  точку , и будет параллельна медиане и

  высоте равнобедренного треугольника .

  В результате возникает следующее построение.

  На изображении треугольника -

  треугольнике делим отрезок в отношении

  Рисунок-8а  , считая от вершины , получаем точку (рис. 8б). Далее отмечаем середину отрезка - точку ,

середину отрезка - точку . Строим

. Находим точку пересечения и

- точку . Проводим отрезок через точку

. - искомое изображение высоты к

боковой стороне.

2 способ Треугольники и

подобны (по двум углам). Тогда

Но . Значит .

В результате возникает следующее построение.  Рисунок-8б

Делим отрезок в отношении , считая от вершины , получаем точку . - искомое изображение высоты к боковой стороне.

3 способ Пристроим справа к треугольнику - образу треугольника , треугольник , такой, что (рис. 8в). Тогда треугольники и подобны (по трём сторонам). В итоге, выполнив

  точное построение высоты

  треугольника, получим, что .

  Значит - искомое изображение высоты к

  боковой стороне.

  Комментарий к задаче. 

  1) Рассмотрен классический пример решения

  задачи на эффективное построение на

  изображении плоской фигуры на метрически

  определённом чертеже. Именно условие, что

  дано изображение равнобедренного

  треугольника, у которого боковая сторона

  Рисунок-8в  втрое больше основания, сделало чертёж

  метрически определённым.

2) Представленные три способа решения задачи наглядно раскрывают особенности каждого из них. Первый способ основан на использовании утверждений, перечисленных в пункте III. Второй – на нахождении того, в каком отношении основание искомого изображения высоты делит соответствующую боковую сторону треугольника. Третий показывает, что зачастую уместно ввести в рассмотрение фигуру, подобную оригиналу, и выполнить соответствующие построения на ней, выделяя соотношения, которые не изменяются при проектировании. Очень часто, как это и показано в рассмотренной задаче, бывает удобно, рационально фигуру, подобную оригиналу, строить на одной из сторон изображения.

В задачах на изображении окружности часто используется изображение её взаимно перпендикулярных диаметров. Поэтому решим следующую задачу.

Задача 63.  На изображении окружности постройте изображение её взаимно перпендикулярных диаметров.

Решение. Рассмотрим в оригинале окружность

и её два взаимно перпендикулярных диаметра и

(рис. 9а). Замечаем, что каждый из них делит

пополам хорды, параллельные другому диаметру.

Отсюда возникает построение. На изображении  Рисунок-9а