Примерный тематический план изучения раздела (стр. 5 )

29. Докажите, что если плоскость пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.

30. Две плоскости и параллельны плоскости . Докажите, что плоскости и параллельны.

31. Даны две пересекающиеся прямые и и точка , не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку проходит плоскость, параллельная прямым и , и притом только одна.

32. Плоскости и параллельны, прямая лежит в плоскости . Докажите, что прямая параллельна плоскости  .

33. Докажите, что плоскости и параллельны, если две пересекающиеся прямые плоскости параллельны плоскости .

34. Две стороны треугольника параллельны плоскости . Докажите, что и третья сторона треугольника параллельна плоскости .

35. Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках  и , а другую - в точках  и . Докажите, что треугольники и подобны.

36. Докажите, что две плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны.

37. Прямая  перпендикулярна к плоскости и перпендикулярна к прямой , не лежащей в этой плоскости. Докажите, что .

38. Докажите, что если плоскость перпендикулярна к некоторой прямой, то и любая параллельная ей прямая перпендикулярна к этой прямой.

39. Докажите, что если точка равноудалена от концов данного отрезка , то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка и перпендикулярной к прямой .

40. Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.

41. Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные. Докажите, что: а) если наклонные равны, то равны и их проекции; б) если проекции наклонных равны, то равны и наклонные; в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.

42. Прямая пересекает плоскость в точке и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости через точку проходит прямая, перпендикулярная к прямой , и притом только одна.

43. Прямая перпендикулярна к плоскости прямоугольника . Докажите, что прямая, по которой пересекаются плоскости и , перпендикулярна к плоскости .

44. Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

45. Докажите, что если плоскости перпендикулярны, и в одной из них проведён перпендикуляр к их линии пересечения, то он служит перпендикуляром к другой плоскости.

46. Плоскости и взаимно перпендикулярны. Через некоторую точку плоскости проведена прямая, перпендикулярная к плоскости . Докажите, что эта прямая лежит в плоскости .

47. Плоскости  и пересекаются по прямой и перпендикулярны к плоскости . Докажите, что прямая перпендикулярна к плоскости .

48. Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.

Тема 2. Воображаемые построения

Основные теоретические положения

       I. Геометрические построения в пространстве делятся на два вида: воображаемые построения и эффективные (реальные построения). Задачи на построение в стереометрии решаются по той же схеме, что и в планиметрии: анализ, построение, доказательство, исследование.

II. Сущность решения задачи на воображаемые построения состоит в том, чтобы доказать существование объекта на основании введённых аксиом, определений понятий и доказанных теорем. Решение таких задач сопровождается построениями в воображении и их переносом на рисунок,  который играет лишь иллюстративную роль, служит опорой для мышления.

       III. Среди задач на воображаемые построения можно выделить основные:

       1) через данную точку провести прямую, пересекающую данную прямую;

       2) через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой;

       3) через данную точку провести прямую, скрещивающуюся с данной прямой;

       4) через данную точку провести прямую, параллельную данной плоскости;

5) через данную точку провести плоскость, параллельную данной прямой;