Примерный тематический план изучения раздела (стр. 7 )

53. Через данную точку проведите прямую, параллельную двум данным плоскостям.

54. Даны три попарно скрещивающиеся прямые. Постройте прямую, пересекающую две из данных прямых и параллельную третьей.

55. В данной плоскости проведите прямую, параллельную другой данной плоскости и пересекающую данную прямую.

56. Через данную точку проведите прямую, пересекающую данную прямую и параллельную данной плоскости.

57. Через данную точку проведите плоскость, параллельную двум данным скрещивающимся прямым.

58. Через данную точку проведите прямую,  перпендикулярную двум данным скрещивающимся прямым.

59. Проведите прямую, перпендикулярную данной плоскости и пересекающую данные скрещивающиеся прямые и .

60.Через данную точку проведите плоскость, параллельную данной прямой и перпендикулярную данной плоскости .

Тема 3. Центральное и параллельное проектирования и их свойства. Изображение фигур на плоскости. Метрические задачи на

изображениях плоских фигур

Основные теоретические положения

I. При изучении стереометрии важное значение имеет изображение фигур на чертеже. В планиметрии изображением фигуры , называемой оригиналом, считается любая фигура , подобная фигуре . Сложнее обстоит дело с изображением фигур в стереометрии. В начертательной геометрии детально разработаны различные методы построения изображений, связанные с понятиями центрального и параллельного проектирований, их свойствами. Однако в школьном курсе геометрии выполнение чертежей в какой-либо определённой проекции ни в коей мере не оправдано, и оказывается вполне целесообразным выполнять построение изображений фигур в так называемой произвольной (центральной или параллельной) проекции. Произвольность при этом состоит в том, что положение оригинала относительно плоскости, на которую осуществляется проектирование, и направление проектирования на эту плоскость остаются неопределёнными.

Проекционное изображение фигуры можно получить, таким образом, не непосредственным проектированием фигуры , а выполняя построения в строгом соответствии с законами проектирования, т. е. сохраняя аффинные свойства оригинала. Напомним некоторые из аффинных свойств:

1. свойство фигуры быть точкой, прямой, плоскостью;

2. свойство фигур иметь пересечение;

3. деление отрезка в данном отношении;

4. свойство прямых (плоскостей, прямой и плоскости) быть параллельными;

5. свойство фигуры быть треугольником, параллелограммом, трапецией;

6. отношение длин параллельных отрезков; и т. д.

В итоге, треугольник (и его частные виды) изображается в виде треугольника, параллелограмм (и его частные виды) изображается в виде параллелограмма. Изображением окружности является эллипс. Трапеция (и её частные виды) изображается в виде трапеции с сохранённым отношением оснований. Изображением тетраэдра служит четырехугольник с его диагоналями. Сферу (шар) принято изображать в ортогональной проекции, поэтому её изображением служит круг. Для получения изображения любой другой фигуры следует выделить те соотношения между элементами оригинала, которые не изменяются при проектировании.

II. Ранее было сказано, что геометрические построения в пространстве делятся на два вида: воображаемые построения и эффективные (реальные построения, т. е. построения с помощью реальных инструментов, применяемых для построений на плоскости). Эффективные построения выполняются на метрически определённом чертеже.

Строя изображение фигуры в соответствии с законами проектирования, получаем фигуру , обладающую всеми аффинными свойствами фигуры . Однако фигура может обладать и такими свойствами, которые не сохраняются при проектировании – метрическими. Например, при проектировании не сохраняются:

- отношение длин непараллельных отрезков;

- величина угла между прямыми (плоскостями, прямой и плоскостью);

- отношение величин углов; и т. д.

Таким образом, чтобы сделать чертёж метрически определённым изображение фигуры сопровождают текстом, в котором поясняют вид фигуры, указываются некоторые условия.

       III. Решая метрические задачи на построение на изображениях плоских фигур, можно использовать следующие утверждения:

в равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые из вершины к основанию, совпадают; биссектриса внутреннего (внешнего) угла треугольника делит противоположную сторону внутренним (внешним) образом на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам; если две прямые перпендикулярны, то и соответственно параллельные им прямые перпендикулярны; квадраты катетов прямоугольного треугольника относятся как их проекции на гипотенузу; прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке; признаки подобия треугольников.

Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических положений

Задача 61. Постройте изображение правильного шестиугольника.

Анализ. Рассмотрим в оригинале правильный шестиугольник (рис. 7а). В нём можно заметить

следующие соотношения:

1) стороны равны;

2) диагонали равны;

3) диагонали равны;

4) стороны и , и ,

и параллельны;

5) диагонали и , и ,

и параллельны;

6) диагонали пересекаются

в одной точке и делятся ею пополам;  Рисунок-7а 

7) четырёхугольники - ромбы; и т. д.

Соотношения 1)-3) не могут быть использованы для построения изображения, т. к. они не сохраняются при проектировании. Достаточно использовать, например, соотношения 6) и 7).

       Построение. Строим параллелограмм

- изображение ромба

(рис. 7б). Для точек строим

симметричные относительно точки -

точки . Шестиугольник -

изображение правильного шестиугольника.

Доказательство. Проводя анализ,

мы для рассмотрения оставляли именно

аффинные свойства оригинала, поэтому

построение верно.

       Исследование. Найденное построение  Рисунок-7б 

не является единственно возможным, т. к. могут быть использованы и другие аффинные свойства оригинала. 

Комментарий к задаче.

1) При решении задачи применялся метод нисходящего анализа, который традиционно используется для решения задач на построение. Но как наглядно иллюстрирует рассмотренная задача этап доказательства в данном виде задач проходит чисто формально, т. к. уже на этапе анализа оставляются для рассмотрения только аффинные свойства оригинала. Поэтому его можно отдельно и не оформлять.

2) При проведении анализа пришлось изображать оригинал рассматриваемой фигуры, что является традиционным при решении задач на построение изображений плоских фигур. При решении задачи на построение изображения пространственной фигуры на данном этапе используется её модель.