Примерный тематический план изучения раздела (стр. 2 )

Соглашения: 1) существуют точки, лежащие, и точки, не лежащие в данной плоскости; 2) для любой плоскости выполняются аксиомы и теоремы планиметрии; равные (подобные) фигуры (треугольники) могут лежать в различных плоскостях.

Аксиомы:  А1-А3.

Определения: принадлежности прямой плоскости, пересечения прямой и плоскости, пересечения двух плоскостей.

Теоремы: следствия из аксиом [1, п. 3].

Параллельность прямых и плоскостей.

Определения: параллельных прямых в пространстве; параллельных прямой и плоскости; скрещивающихся прямых; параллельных плоскостей.

Теоремы:  о параллельных прямых [1, п. 4]; лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми; о параллельности трёх прямых [1, п. 5]; признак параллельности прямой и плоскости; свойства параллельности прямой и плоскости [1, п. 6]; признак скрещивающихся прямых; свойство скрещивающихся прямых [1, п. 7]; признак параллельности плоскостей; свойства параллельных плоскостей [1, п. 10-11].

Перпендикулярность прямых и плоскостей.

Определения: перпендикулярных прямых; прямой, перпендикулярной к плоскости; перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости; наклонной; проекции наклонной; угла между прямой и плоскостью; двугранного угла; угла между пересекающимися плоскостями; перпендикулярных плоскостей.

Теоремы: лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой [1, п. 15]; о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости [1, п. 16]; признак перпендикулярности прямой и плоскости [1, п. 17]; о существовании прямой, перпендикулярной к плоскости [1, п. 18]; теорема о трёх перпендикулярах и обратная к ней [1, п. 20]; признак перпендикулярности двух плоскостей и следствие [1, п. 23].

Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических положений

Задача 1. Плоскость и прямая параллельны. Докажите, что в плоскости существует прямая, параллельная прямой .

  Доказательство. Возьмём в плоскости

  произвольную точку (соглашение 1).

  Т. к. плоскость и прямая

  параллельны, то  (определение

  параллельности прямой и плоскости).

  Тогда существует плоскость (рис. 1),

  задаваемая точкой  и прямой 

  (теорема-следствие 1 из аксиом).

  Если две плоскости (и ) имеют

  общую точку (), то они имеют

  общую прямую (), на которой лежат

  все общие точки этих плоскостей (А3). ,

  Рисунок-1  т. к. в противном случае прямая имеет с

плоскостью общую точку, что противоречит условию задачи.

Задача 2. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку прямой и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку  и перпендикулярной к прямой .

Доказательство. Очевидно, что через данную прямую () в пространстве проходит бесконечное число плоскостей. Рассмотрим две из этих плоскостей и проведём в каждой из них через точку прямые и , перпендикулярные к прямой (соглашение 2). Через две пересекающиеся прямые ( и ) проходит плоскость, и притом только одна (рис. 2а), т. е. ими можно однозначно задать плоскость (теорема-следствие 2 из аксиом). Тогда, если прямая () перпендикулярна к двум пересекающимся прямым (и ), лежащим в плоскости (), то она перпендикулярна к этой плоскости, т. е. (признак перпендикулярности прямой и плоскости).

Докажем, что любая прямая ,

лежит в плоскости  . Предположим,

что это не так. Через две пересекающиеся

прямые ( и ) проходит плоскость (рис. 2б), и

притом только одна, т. е. получим плоскость

(теорема-следствие 2 из аксиом).

Если две плоскости (и ) имеют общую точку (),  Рисунок-2а 

  то они имеют общую прямую, на которой

  лежат все общие точки этих плоскостей (А3).

  Обозначим эту прямую . Если прямая

  перпендикулярна к плоскости (), то она

  перпендикулярна к любой прямой, лежащей

  в  этой плоскости ( лежит в ), т. е. .

  Но тогда в плоскости есть две прямые и ,

  проходящие через точку и перпендикулярные

  к прямой . Это невозможно, значит, прямая   

  лежит в плоскости .

  Рисунок-2б  Комментарий к задачам 1-2.

1) В процессе решении задач представленного вида (задач на доказательство) должно формироваться умение оперировать перечисленными выше теоретическими положениями. Поэтому на каждом этапе процесса решения задачи следует чётко выделять, какие теоретические положения и как используются. Например, основой решения задачи 1 становится соглашение 1 о существовании точек, лежащих в данной плоскости; определение параллельности прямой и плоскости; теорема-следствие 1 из аксиом, позволяющее однозначно задать плоскость в пространстве; аксиома А3; задачи 2 – соглашение 2 о выполнимости всех положений планиметрии на фиксированной плоскости, в частности, о существовании и единственности прямой, проходящей в плоскости через данную точку и перпендикулярной к данной прямой; теорема-следствие 2 из аксиом, позволяющее однозначно задать плоскость в пространстве; признак перпендикулярности прямой и плоскости; аксиома А3; свойство прямой, перпендикулярной к плоскости, следующее из определения перпендикулярности прямой и плоскости.