Гидравлика, гидрология и метеорология (стр. 9 )

Re = vd/ν.                                (3.10)

Числа Рейнольдса, соответствующие критическим скоростям, называются  н и ж н и м  к р и т и ч е с к и м  Reкр и  в е р х н и м  к р и - т и ч е с к и м  Reкр′ . Процесс перехода ламинарного режима в турбулентный объясняется следующими обстоятельствами. Наличие сдвигового течения слоев жидкости создает наряду с поступательным вращательное движение жидких частиц, однако силы внутреннего трения препятствуют этому вращению. Пока последние превалируют, течение является струйным. С ростом скорости в потоке возрастают силы инерции. Если они станут преобладающими над силами сцепления и вязкости, ламинарное течение потеряет устойчивость и в потоке начнутся хаотичные пульсации жидкости, обусловленные переходом частиц из одного слоя в другой, обменом энергии между частицами разных слоев. Область сопротивления в пределах Reкр < Re < Reкр′ называется н е у с т о й ч и - в о й  или  о б л а с т ь ю  п е р е м е ж а е м о с т и  режимов.

В учебной и справочной литературе нижнее критическое число Рейнольдса необоснованно принято постоянным. При этом чаще всего называется цифра 2320 [1, 2, 3 и др.], реже 2000 [4] и даже меньше [5]. В то же время в ряде исследований [4, 6 и др.] показано, что как нижнее, так и верхнее критические числа Рейнольдса не являются во всех случаях постоянными величинами. Они зависят от диаметра, шероховатости внутренней поверхности трубы, некоторых других факторов и варьируют в пределах: Reкр = 900 – 3980, Reкр′ = 2600 – 4000. Как видно из этих данных, область перемежаемости является сравнительно узкой. Вследствие того, что в пределах ее постоянно возникают, некоторое время существуют и затем исчезают очаги турбулентности, она в сущности не поддается строгому математическому описанию. Поэтому ее и не рассматривают отдельно, а относят к турбулентному режиму.

По исследованиям и , Reкр зависит главным образом от диаметра трубы и для воды может быть вычислено по формуле [7]

Reкр = 5570 d0,34.                        (3.11)

На рис. 3.6 представлены зависимости vкр и Reкр от диаметра трубы. При изменении d в пределах 5–500 мм vкр уменьшается от 18,4 до  0,9 см/с, а Reкр возрастает от 920 до 4400.

Рис. 3.6. Зависимости нижних критических

значений средней скорости и числа

Рейнольдса от диаметра трубы

Для труб и каналов некруглых сечений в формулы (3.10), (3.11) и в другие последующие расчеты вместо d подставляется так называемый э к в и в а л е н т н ы й  д и а м е т р  ж и в о г о  с е ч е н и я  dэкв, равный четырем гидравлическим радиусам, т. е. dэкв = 4 Rг.

3.3. Уравнения Бернулли для элементарной струйки жидкости

Сначала рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости, находящейся под действием лишь одной массовой силы – силы тяжести, и выведем для этого случая основные уравнения, связывающие между собой давление в жидкости и скорость ее движения.

Возьмем в любом месте элементарной струйки бесконечно малый (элементарный) объем жидкости (v), построенный на живом сечении ее Δщ, и применим к нему известные положения механики. Относительно произвольно выбранной плоскости отсчета (сравнения) он обладает потенциальной энергией тела, поднятого на высоту z:

Еп = mgz = ρvgz.

Кроме того, этот объем находится под давлением р, поэтому в нем содержится потенциальная энергия давления

Ед = р v.

Так как элементарный объем v движется со скоростью u, то его кинетическая энергия

.

На основании изложенного полная механическая энергия элементарного объема v

.                (3.12)

Пользоваться в гидравлике выражением (3.12), связанным с конкретным значением объема или массы, весьма неудобно, поэтому на основании его исчисляют  у д е л ь н у ю  э н е р г и ю, т. е. э н е р г и ю, п р и х о д я щ у ю с я  н а  е д и н и ц у  к о л и ч е с т в а  ж и д к о с -  т и – веса или объема. В первом случае необходимо разделить все члены уравнения (3.12) на вес элементарного объема ρvg:

.                        (3.13)

Полученное уравнение выражает полный напор Нп в точке потока; все составляющие его измеряются в метрах столба рассматриваемой жидкости и имеют следующий физический смысл:

z – удельная потенциальная энергия положения точки над плоскостью сравнения (геометрической напор);

p/(ρg) – удельная потенциальная энергия давления жидкости в точке (пьезометрический напор);

u/(2g) – удельная кинетическая энергия (скоростной напор).

Во втором случае необходимо разделить все члены уравнения (3.12) на элементарный объем v:

.                        (3.14)

Уравнение (3.14) выражает полное давление рп в точке потока, все составляющие его измеряются в Паскалях; ρgz – называют весовым, р – поверхностным, ρu2/2 – динамическим давлением.

Для двух сечений элементарной струйки, используя закон сохранения энергии, на основе формул(3.13) и (3.14) можно записать:

,                (3.15)

или

ρgz1 + р1 + ρu12/2 = ρgz2 + р2 + ρu22/2.                (3.16)

Зависимости (3.15), (3.16) являются  у р а в н е н и я м и  Д. Б е р -  н у л л и  д л я  э л е м е н т а р н о й  с т р у й к и  и д е а л ь н о й (н е - в я з к о й)  ж и д к о с т и.

Наиболее широкое применение в гидравлике имеет уравнение Бернулли в записи (3.15). Как известно из гидравлики, выражение  z + р/(ρg) = Нст представляет собой  г и д р о с т а т и ч е с к и й  н а -  п о р. Следовательно, полный напор состоит из гидростатического и скоростного напоров и является постоянной величиной:

Нп = Нст + u2/(2g) = z + р/(ρg) + u2/(2g) = const.        (3.17)

При равенстве отметок z в разных сечениях из уравнения Бернулли вытекает важное свойство: с увеличением скорости давление уменьшается, а с уменьшением скорости давление увеличивается.

В реальной (вязкой) жидкости равенство (3.17) нарушается, так как часть энергии из-за действия сил трения в элементарной струйке на пути от первого сечения ко второму теряется. В связи с этим уравнения Бернулли принимают следующий вид:

,                (3.18)

или

ρgz1 + р1 + ρu12/2 = ρgz2 + р2 + ρu22/2 + р1–2 .        (3.19)

где h1–2 , р1–2 – соответственно потери напора, давления между сечениями 1–1 и 2–2.

Представить наглядно все составляющие уравнения (3.18) в сечении элементарной струйки можно с помощью пьезометра и трубки Пито (рис. 3.7). В 1732 г. французский инженер и исследователь Анри Пито установил, что если изогнутую под прямым углом трубку установить нижним концом навстречу потоку, то в ней создается дополнительно, кроме пьезометрического, скоростной напор hс, по величине которого можно вычислить скорость u в точке потока:

.                                (3.20)

Рис. 3.7. Схема прибора с трубкой Пито

Представим в элементарной струйке два сечения 1–1 и 2–2, к которым подключены вышеуказанные приборы (рис. 3.8). Если бы жидкость была идеальной, то уровни в трубках Пито расположились бы на горизонтальной линии Е–Е. В реальной жидкости полный напор Нп устанавливается по линии F–F, которая является наклонной, нисходящей. Измерив, положение уровней в трубках Пито, можно вычислить потери напора между сечениями 1–1 и 2–2:

h1–2 = Нп1 – Нп2.                        (3.21)

Рис. 3.8. Геометрическая интерпретация

уравнения Бернулли для элементарной

струйки жидкости

Уровни в пьезометрах располагаются на линии пьезометрического напора N–N.

Разность показаний трубки Пито и пьезометра представляет собой скоростной напор в сечении. При уменьшении площади сечения скоростной напор возрастает, а пьезометрический соответственно падает.

3.4. Уравнения Бернулли для потока жидкости

Учитывая, что поток жидкости представляет собой совокупность множества элементарных струек и принимая движение жидкости установившимся и плавноизменяющимся, можно на основе уравнений (3.18) и (3.19) получить уравнения Бернулли для потока конечных размеров. При этом необходимо иметь в виду следующее. Опытами установлено, что гидростатический напор в любой точке сечения потока практически остается постоянной величиной z + р/(ρg) = const. Скоростной напор в сечении потока удобнее всего исчислять по величине средней скорости v, однако вследствие неравномерности распределения точечных местных скоростей u по сечению при этом допускается ошибка. Для ликвидации ее вводится поправочный коэффициент α, который называется  к о э ф ф и ц и е н т о м  к и н е т и ч е с к о й  э н е р г и и, или коэффициентом Кориолиса. С учетом этого уравнения Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости принимают следующий вид: