Инженерная механика Конспект лекций для студентов специальностей 5В072500 - «Технология деревообработки и изделий из дерева», 5В073000 - «Производство строительных материалов, изделий и конструкций» (стр. 10 )

Допускаемый угол закручивания 1 метра длины вала задается в градусах и обозначается , расчетная формула на жесткость при кручении имеет вид:

,  (9.5)

где - относительный угол закручивания, .

       Величины допускаемых углов закручивания зависят от назначения вала, их  обычно принимают в следующих пределах:

град/метр.  (9.6)

       С помощью представленных формул выполняют три вида расчетов конструкций на прочность и жесткость при кручении – проектный, проверочный и определение допускаемой нагрузки.

9.5 Эпюры крутящих моментов

Крутящие моменты  могут меняться вдоль  оси бруса.

Рассмотрим прямой вал круглого поперечного сечения, с левым, жестко защемленным  концом, и приложенным к правому свободному концу скручивающим моментом М (рисунок 9.3, а) в заделке возникает реактивный момент противоположного направления.

Рисунок 9.3

Крутящий момент в сечениях бруса определяется с помощью метода сечений (рисунок 9.3, б). Под действием скручивающего момента М в произвольном сечении возникает крутящий момент Мк, постоянный по длине стержня.

Закон изменения крутящих моментов по длине стержня изображается графически с помощью эпюры крутящих моментов (рисунок 9.3, в).

Порядок построения эпюры моментов аналогичен построению эпюр продольных сил. Ось эпюры параллельна оси бруса, значения моментов откладываются от оси вверх или вниз, с соблюдением масштаба.

Крутящий момент считается положительным, если  моменты  внешних  сил направлены против часовой стрелке (рисунок 9.4).

       

  Рисунок 9.4

К валу может быть приложено несколько скручивающих моментов, например, рассмотрим  стержень с распределенными по его длине скручивающими нагрузками  (рисунок 9.5). Так как вал  и любая его часть находятся в равновесии, то алгебраическая сумма скручивающих моментов, приложенных к каждой части, должна быть равна нулю. Из уравнения равновесия всего стержня определяется реактивный момент в заделке. В поперечном сечении, где приложен вращающий  момент, значения крутящего момента меняются скачкообразно.

Рисунок 9.5

  10 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

10.1 Напряженное состояние в точке. Сложное деформированное состояние. Гипотезы прочности

       Напряженное состояние в точке характеризуется нормальными и касательными напряжениями, возникающими на всех площадках (сечениях), проходящих через данную точку. Как правило, достаточно  определить напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, которые принято изображать в виде параллелепипеда (рисунок 10.1).

Рисунок 10.1

       Положения теории напряженного состояния:

               - напряженное состояние в данной точке полностью определено, если известны напряжения по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам;

               - среди множества площадок, которые можно провести через данную точку, есть три взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, эти площадки называются главными, а нормальные напряжения, возникающие на них, называются главными напряжениями у1, у2, у3 (рисунок 10.1).

Одно из этих напряжений  - максимальное (у1), одно – минимальное (у3).

Классификация видов напряженного состояния производится по главным напряжениям:

-  если  все три главных напряжения  не равны нулю, то напряженное состояние  называют объемным  или трехосным (рисунок 10.1, а);

-  если одно из главных напряжений равно нулю, напряженное состояние называют плоским или двухосным (рисунок 10.1, б);

-  если  два  из главных напряжений (у2=0) противоположны по знаку,  напряженное состояние называют  упрощенным плоским состоянием;

-  если лишь одно из главных напряжений не равно нулю, напряженное состояние называют линейным (рисунок 10.1, в).

Совокупность деформаций, возникающих по различным направлениям и в различных плоскостях,  проходящих через точку, определяют деформированное состояние в этой точке.

Сложное деформированное состояние возникает, если деталь подвергается одновременно нескольким простым  нагружениям. 

Такие состояния возникают в заклепочных соединениях (срез и смятие), в болтовых соединениях (растяжение и скручивание), при поперечном изгибе бруса (изгиб и сдвиг).

Иногда одно из нагружений не учитывается, например, длинные балки рассчитываются только на изгиб, но в ряде случаев нормальные и касательные напряжения имеют один порядок и ими нельзя пренебрегать, в этом случае производится расчет при сложном деформированном состоянии.

Для упрощения расчетов применяют теории прочности. Смысл теорий заключается в замене реального сложного деформированного состояния равноопасным простым.

Опасное состояние может быть вызвано различными факторами: нормальные напряжения могут достигнуть предела текучести или предела прочности, касательные напряжения могут достигнуть опасного значения или накопленная энергия деформирования может стать слишком большой и вызвать разрушение.

Рассмотрим наиболее известные гипотезы прочности.

Первая теория прочности – теория наибольших нормальных напряжений. Основывается на гипотезе о том, что причиной наступления  предельного напряженного состояния являются наибольшие нормальные напряжения. При этом должно соблюдаться следующее условие:

,  (10.1)

где  у1  - величина наибольшего из главных напряжений;

  у0  - предельное напряжение.

               При расчете по методу предельных состояний данное условие имеет вид:

,  (10.2)

где  - коэффициент условий работы;

       R – расчетное сопротивление.

               Вторая теория прочности – теория наибольших удлинений. Данная теория исходит из предположения, что опасное состояние  наступает, когда наибольшая относительная деформация растяжения или сжатия достигает предельных значений. Этой гипотезе соответствуют условия наступления опасного состояния:

,  ,  (10.3)

где  , - главные деформации, принимаемые как: и ;

  , - предельные значения, при одноосном растяжении или сжатии.

               Третья теория прочности – теория наибольших касательных напряжений. Согласно этой теории предполагается, что причиной наступления предельного напряженного состояния является достижение наибольшими касательными напряжениями опасного значения. Общее условие, которое отвечает данной теории,  имеет вид:

,  (10.4)

где  - расчетная величина наибольшего касательного напряжения;

        - предельное значение касательного напряжения.

               В случае объемного напряженного состояния при наибольшие касательные напряжения определяются полуразностью максимального и минимального главных напряжений:

.  (10.5)

               При этом условие наступления опасного состояния принимает вид:

.  (10.6)

               Условие прочности по методу предельных состояний записывается как:

.  (10.7)

               Приняв , и , (рисунок 10.2), получим:

.  (10.8)

Рисунок 10.2

       Теория прочности Мора (четвертая). Согласно этой теории, опасное состояние материала наступает тогда, когда на некоторой площадке осуществляется наиболее неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений. Условие наступления опасного состояния  можно представить как: