Инженерная механика Конспект лекций для студентов специальностей 5В072500 - «Технология деревообработки и изделий из дерева», 5В073000 - «Производство строительных материалов, изделий и конструкций» (стр. 7 )

;  ;.  (5.2)

;  ;.  (5.3)

;  ;.  (5.4)

При определении опорных реакций необходимо составлять уравнения, чтобы каждое из них содержало не более одного неизвестного. Наиболее часто для этой цели составляются уравнения моментов относительно опорных точек (формула 5.3). Найдя реакции опор RА  и  RВ нужно произвести проверку правильности их вычисления, используя уравнения:

или .  (5.5)

Точка «С» может быть расположена  в любом месте балки, но с условием, чтобы относительно нее имели  момент все приложенные силы.

Если в результате  вычисления  какая-либо реакция окажется отрицательной, то на схеме необходимо поменять ее направление на обратное по сравнению с первоначально принятым в расчете.

Если  нагрузки,  действующие  на  балку,  перпендикулярны к ее оси, то Н=0  и  уравнение для ее определения () не используется.

Системы, в которых число уравнений равновесия достаточно для определения всех опорных реакций, называют статически определимыми.

Балки, имеющие число реакций больше числа независимых уравнений равновесия, называются статически неопределимыми.

5.4 Построение эпюр моментов и поперечных сил в балках

Для расчета балки  на изгиб нужно знать величину максимального изгибающего момента М и положение сечения, в котором он возникает, а также значение  наибольшей поперечной силы Q.

При  необходимости выяснения закона изменения М и Q по длине балки строятся так называемые эпюры моментов и поперечных сил.  Эти эпюры представляют собой графическое изображение функций М и Q на протяжении всей балки. По эпюрам легко определить положение максимального момента или поперечной силы. После вычисления конкретных значений моментов и поперечных сил в ряде точек строятся соответствующие графики.

При определении М и Q в каком-либо сечении, балка  мысленно разделяется на две части и рассматривается равновесие одной из отсеченных частей. Действие отброшенной части заменяется внутренними силовыми факторами М и Q,  которые и вычисляются из уравнений равновесия.

На расчетной схеме балку принято заменять осью. При этом  все нагрузки  приводятся к оси балки и силовая плоскость должна совпадать с плоскостью чертежа.

5.5  Некоторые  особенности  построения эпюр

изгибающих моментов и поперечных сил

На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q ограничена прямыми, параллельными базе, а эпюра М – наклонными прямыми. На участках, где действует равномерно-распределенная нагрузка q, эпюра Q ограничена наклонными прямыми, а эпюра М – квадратичной параболой.

       3)  В сечениях, где Q=0, эпюра М имеет максимальное значение.

       4)  В сечении, где к балке приложены сосредоточенные силы:

  -  на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении приложенных сил;

  -  на эпюре М будут переломы, причем острие перелома направлено против действия сил.

               5)  В  сечениях,  где к  балке приложены сосредоточенные  моменты, на эпюре М будут скачки на величину этих моментов (на эпюре Q  изменений не будет).

       6) Если на конце консоли  или  в  концевой опоре к балке приложен сосредоточенный момент, то в этом сечении изгибающий момент равен внешнему моменту. Если же в концевой шарнирной опоре или на конце консоли балка не загружена внешним моментом, то в них М=0.

               7)  Эпюра Q представляет собой диаграмму производной от эпюры М.

6  ИЗГИБ. НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

  ПРИ ИЗГИБЕ. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ

6.1 Деформации при чистом изгибе

       При чистом изгибе в сечении возникает только один внутренний силовой фактор – изгибающий момент.

       Рассмотрим деформацию бруса, нагруженного внешней парой сил с моментом M (рисунок 6.1)

Рисунок 6.1

       При чистом изгибе выполняются гипотезы плоских сечений и ненадавливаемости слоев.

       Сечения бруса, плоские и перпендикулярные продольной оси, после деформации остаются плоскими и перпендикулярными продольной оси.

       Продольные волокна не давят друг на друга, поэтому слои испытывают простое растяжение или сжатие.

       Действуют только нормальные напряжения.

Поперечные размеры сечений не изменяются.

Продольная ось бруса после деформации изгиба искривляется, и образует дугу окружности радиуса с (рисунок 6.2). Материал подчиняется закону Гука.

Рисунок 6.2

Как видно из рисунка, верхние волокна удлиняются, а нижние – укорачиваются, но есть и такой слой, в котором нормальные напряжения равны нулю и соответственно длина данного слоя при изгибе не изменяется.  Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем (НС) или нулевой линией (НЛ). Нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения, с является радиусом кривизны нулевой линии.

Рассмотрим деформацию слоя, расположенного на расстоянии у от нейтральной оси (рисунок 6.2).

Длина участка до деформации равна длине нулевой линии:

.  (6.1)

Абсолютное удлинение слоя может быть определено по формуле:

.  (6.2)

Относительное удлинение вычисляется, как:

; .  (6.3)

Относительное удлинение прямо пропорционально расстоянию слоя до нейтральной оси.

Используя закон Гука, получим зависимость нормального напряжения при изгибе от положения слоя:

,  или ,  (6.4)

где  Jх  - геометрическая характеристика сечения при изгибе.

       Эпюра распределения нормальных напряжений при изгибе представлена на рисунке 6.3.

Рисунок 6.3

       По эпюре распределения нормальных напряжений видно, что максимальное напряжение возникает в точке, для которой величина «у» принимает наибольшее значение, т. е. в наиболее удаленном волокне.

       При у=уmax, получим:

.  (6.5)

       Отношение называют моментом сопротивления сечения при изгибе, или осевым моментом сопротивления.

       Размерность – единица длины в кубе (м3).

        характеризует влияние формы и размеров сечения на прочность при изгибе.

       Напряжение на поверхности определяется по формуле:

.  (6.6)

6.2 Расчет на прочность  при изгибе

       Расчет на прочность – это определение напряжения и сравнения его с допустимым.

       Условие прочности при изгибе выглядит следующим образом:

,  (6.7)

где [уи] – допускаемое напряжение на изгиб.

       По этому неравенству необходимо производить проверочные расчеты после окончания конструирования балки.

       Для балок из хрупких материалов расчеты проводят по растянутой и сжатой зонам одновременно (рисунок 6.4)

       

Рисунок 6.4

;  .  (6.8)

6.3 Рациональные сечения при изгибе