Инженерная механика Конспект лекций для студентов специальностей 5В072500 - «Технология деревообработки и изделий из дерева», 5В073000 - «Производство строительных материалов, изделий и конструкций» (стр. 4 )

  .  (2.10)

2.4 Определение направления главных осей инерции.

Главные моменты инерции

       Главными осями инерции называются две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю.

       Направление главных осей инерции определяется уравнением:

.  (2.11)

         Главными моментами инерции называются осевые моменты инерции, вычисленные относительно главных осей инерции, которые имеют экстремальные значения:

.  (2.12)

       Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями, а моменты инерции относительно этих осей – главными центральными моментами инерции.

3  ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ. НАГРУЗКИ ВНЕШНИЕ  И 

  ВНУТРЕННИЕ. МЕТОД СЕЧЕНИЙ. НАПРЯЖЕНИЯ

3.1 Основные понятия. Внешние и внутренние силы

Элементы конструкции при  работе испытывают внешнее воздействие, которое оценивается величиной внешней силы. К внешним силам относятся активные силы и реакции опор, стремящиеся  вызвать деформацию.

Под действием внешних сил в детали возникают внутренние силы упругости, стремящиеся вернуть телу первоначальную форму и размеры.        

       Внешние силы должны определяться методами теоретиче­ской механики, а внутренние, часто называемые усилиями, определяются  основным методом сопротивления материалов — методом сечений.

В сопротивлении материалов, тела рассматриваются в равнове­сии.

       Рассмотрим произвольное  тело,  (рисунок 3.1, а).

       

       

       

  Рисунок 3.1

       В том месте, где необходимо определить внутренние усилия, рассечем тело некоторой плоскостью на две части А и В (рисунок 3.1, б).

       Если принять во внимание гипотезу о сплошности  материала будем считать, что внутренние  силы действуют во всех точках проведенного сечения  и, следовательно, представляют собой распределенную нагрузку.

       Необходимо учесть, что внутренние силы, действующие по сечению, принадлежащему части А тела, в соответствии с третьим законом Ньютона (силы, с которыми два тела действуют друг на друга, направлены по одной прямой, равны по величине и противоположны по направлению) равны по величине и противоположны по направлению внутренним силам, действующим по сечению принадлежащему части В тела. Внутренние силы,  действующие на различные части взаимны,  как всякую систему сил, их  можно привести к одной точке (как правило, к центру тяжести сечения), (рисунок 3.1, в).

3.2 Метод сечений

Метод сечений заключается в мысленном рассечении тела плоскостью и рассмотрении равновесия любой из отсеченных ча­стей.

Если все тело находится в равновесии, то и каждая его часть находится в равновесии под действием внешних и внутренних сил. Внутренние силы определяются из уравнений равновесия, соста­вленных для рассматриваемой части тела.

       Рассечем тело поперек плоскостью (рисунок 3.2) и рассмотрим ее правую часть. На нее действуют внешние силы Р4, Р5, Р6 и внутренние силы упругости  qi,  распределенные по сечению. Систему распределенных сил можно заменить главным вектором Rо, расположенным в центре тяжести сечения и суммарным моментом  сил Мо:

;  .  (3.1) 

Рисунок 3.2

Если главный вектор и главный момент внутренних сил спроецировать на главные центральные оси сечения х, у и z то на каждой стороне сечения получится по шесть внутренних силовых фактора: три силы (Nz, Qх, Qу) и три момента (Мх, Му, Мz). Эти величины называются усилиями и моментами в сечении стержня.

    (3.2)

       Усилие Nz вызывает продольную деформацию стержня (растяжение или сжатие); Qх  и Qу – сдвиг сторон сечения  соответственно в направлении осей х и у; Мz – кручение стержня; Мx и My – изгиб стержня  в главных плоскостях.  В связи с этим  для усилий и моментов в сечении приняты следующие названия:

       Nz - продольная или осевая (направленная по оси стержня) сила;

       Qх  и Qу - поперечные (реже перерезывающие) силы;

       Мz =Мкр– крутящий момент;

       Мх и Mу - изгибающие моменты.

       Усилия  и моменты можно представить  следующими определениями:

       Продольная сила N - это  сумма проекций всех сил (внутренних) действующих в сечении, на нормаль к сечению (или на ось стержня).

       Поперечные силы  Qх  и Qу – это суммы проекций всех внутренних сил в сечении на главные центральные оси сечения х и у.

       Крутящий момент Мz=Мкр – это  сумма  моментов всех внутренних сил  в сечении относительно оси стержня.

       Изгибающие моменты Мх и Mу – это сумма моментов всех внутренних сил в сечении относительно главных центральных осей сечения  х и у соответственно.

3.3 Напряжения

Метод сечений позволяет определить величину внутреннего си­лового фактора в сечении, но не дает возможности установить за­кон распределения внутренних сил по сечению.

Величину интенсивности внутренних сил в точке поперечного сечения называют механическим напряжением. Напряжение харак­теризует величину внутренней силы, приходящейся на единицу пло­щади поперечного сечения.

Брус, к которому приложена внешняя нагрузка (рисунок 3.3), с помощью метода сечений рассечем поперечной плоскостью, отбросим левую часть и рассмотрим равновесие остав­шейся правой части, выделим на секущей плоскости малую площадку dF. На этой площадке действует равнодействующая внутренних сил  упругости.

Направление напряжения сср  совпадает с направлением внутренней силы в этом сечении.

Рисунок 3.3

       Вектор сср называют полным напряжени­ем и раскладывают на две составляющих (рисунок 3.4), эти  величины  называются  напряжениями  в точке: - нормальные напряжения,- касательные напряжения.

Рисунок 3.4

       Напряжением с, называется внутренняя сила Р, отнесенная к единице площади в данной точке рассматриваемого сечения.

       Единица измерения напряжения - Н/м2.

.  (3.3)

    (3.4)

       Если вектор с - пространственный, то его раскладывают на три составляющие:

.  (3.5) 

Сила N, изгибающие моменты Мх и Му вызывают появление нор­мальных напряжений. Силы Qx  и Qy вызывают появление касательных напря­жений. Крутящий момент Mz вызывает сдвиг сечения вокруг продоль­ной оси, в связи с этим появляются касательные напряжения.

4  МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛА

ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ

4.1 Напряжения при растяжении и сжатии

Растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором  в любом поперечном сечении бруса возникает только продольная сила. Рассмотрим стержень, нагруженный  осевыми силами (рисунок 4.1). 

  Рисунок 4.1

Для  произвольного  сечения  n-n  статическая  сторона задачи выражается  уравнением:

    (4.1)

       Геометрическая сторона задачи определяется гипотезой плоских сечений (гипотезой Бернулли): поперечные сечения стрежня, плоские до деформации, остаются плоскими после деформаций, все волокна элемента длиной ℓ  удлиняются на одну и туже величину ∆ℓ и их относительные удлинения ε  одинаковы:

    (4.2)

       Физическая сторона определяется законом Гука, выражающим  линейную зависимость между деформациями и напряжениями:

  ;  (4.3)

где Е – коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости при растяжении или модулем Юнга.

Размерность модуля упругости - Па (Н/м2).

В силу гипотезы плоских сечений, можно сделать вывод, что при растяжении и сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению и вычисляемые по формуле:

  .  (4.4)

При растяжении напряжение положительное, а при сжатии отрицательное.

Определяя напряжения при растяжении и сжатии, а также других видах деформации, используется важное положение, носящее название принципа Сен-Венана. Если тело нагружается статически эквивалентными системами сил, т. е. такими, у которых главный вектор и главный момент одинаковы, и при этом размеры области приложения нагрузок невелики по сравнению с размерами тела, то в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения сил, напряжения мало зависят от способа нагружения.