Инженерная механика Конспект лекций для студентов специальностей 5В072500 - «Технология деревообработки и изделий из дерева», 5В073000 - «Производство строительных материалов, изделий и конструкций» (стр. 6 )

Проверяется неравенство

  .  (4.21) 

       3)  Определение нагрузочной способности (максимальной нагрузки):

    (4.22) 

4.5 Статически неопределимые системы

Статически неопределимыми системами называются  конструкции, в элементах  которых  усилия не могут быть определены из уравнений статики (рисунок 4.6). Кроме уравнений статики для расчета таких систем необходимо использовать уравнения учитывающие деформации элементов конструкций.

Все статически неопределимые конструкции имеют дополнительные, так называемые «лишние» связи, в виде закреплений, стержней, либо других элементов. Лишними такие связи называются только потому, что они не являются необходимыми для обеспечения равновесия конструкции, и ее геометрической неизменяемости, хотя установка и диктуется  условиями эксплуатации. По условиям  прочности и жесткости конструкции лишние связи могут оказаться необходимыми.

Разница между числом неизвестных и числом  уравнений  статики  определяет число лишних неизвестных, или степень статической неопределимости конструкции. При одной лишней неизвестной  система называется один раз статически неопределимой, при двух – дважды статически неопределимой  и т. д., конструкции показанные на рисунках 4.6 а, б, г, д, е являются один раз статически неопределимыми, а конструкция представленная на рисунке в – дважды статически неопределимая.

Рисунок 4.6

Решение статически неопределимых задач проводят в четыре этапа.

1) Статическая  сторона  задачи.  Составляются  уравнения  равновесия отсеченных элементов конструкций, содержащие неизвестные усилия.

2) Геометрическая  сторона  задачи. Рассматривая  систему  в деформированном состоянии, устанавливаются связи между деформациями или перемещениями отдельных элементов конструкций. Полученные уравнения  называются  уравнениями совместности деформаций.

3)  Физическая  сторона задачи.  На  основании  закона  Гука  выражают деформации элементов конструкции через действующие в них неизвестные усилия.

4) Синтез.  Решая  совместно  полученные  уравнения,  находим неизвестные усилия.

5  ИЗГИБ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ

5.1 Общие понятия об изгибе балок

       Во многих конструкциях в большом количестве встречаются элементы,  работающие на изгиб. Стержни, работающие преимущественно на изгиб, называют балками (рисунок 5.1).

где  а) – балка в естественном состоянии (без нагрузки);

  б) – система изогнутая двумя парами, приложенными по концам;

  в) – изгиб балки под действием силы Р.

Рисунок 5.1

       Изображенный на боковой поверхности балки прямоугольник m n m1 n1 (рисунок 5.1, а) после деформации превращается в фигуру, близкую к трапеции, с двумя прямолинейными сторонами m m1  и n n1 и двумя криволинейными сторонами  m n и m1 n1 (рисунок 5.1, б). Нижние волокна при этом удлиняются, а верхние укорачиваются.

       В зависимости от способов приложения нагрузки и закрепления стержней возникают различные виды изгиба. В случае, когда изгибающий  момент в поперечном сечении балки является единственным силовым фактором, а все остальные равны нулю, то изгиб называется чистым (рисунок 5.1, б).

       Если кроме изгибающего момента в поперечных сечениях балки возникают также и поперечные силы, а нормальная сила при этом равна нулю, то такой изгиб называется поперечным (рисунок 5.1, в).

       Если все силы, в том числе и опорные реакции, лежат в одной плоскости, совпадающей с осью симметрии сечения, то ось изогнутой балки также лежит в этой плоскости, и такой изгиб называют плоским.

5.2 Внешние и внутренние силы при изгибе.  Дифференциальные

зависимости между М, Q и q

Внешними силами называются силы взаимодействия  между рассматриваемым элементом конструкции и связанными с ним телами.

Поверхностные силы – это силы  возникшие путем взаимодействия  данного тела  с другими телами и они приложены,  только  к точкам поверхности тела  в месте  контакта,  такие силы  могут быть распределены  непосредственно  по всей  поверхности тела  или ее части.

Величина нагрузки, приходящаяся на единицу площади,  называется  интенсивностью нагрузки и имеет размерность  кН/м2, (рисунок 5.2, а).

Весьма часто, распределенную по поверхности нагрузку приводят к главной  плоскости, в результате получается распределенная по линии нагрузка, которая называется погонной  нагрузкой, обозначается через q и  имеет размерность  кН/м, (рисунок 5.2, б).

Рисунок 5.2

Равнодействующая распределенной  нагрузки численно равна площади ее эпюры и приложена в центре ее тяжести.

Если нагрузка  распределена  на небольшой  части поверхности тела, то ее всегда заменяют равнодействующей, которая  называется сосредоточенной силой  Р (кН). Кроме того, встречаются нагрузки представленные в виде момента М (кН∙м).

В настоящее время рассматриваются силы, действующие на балку и образующие систему параллельных сил, лежащих в одной плоскости и пересекающих ось балки под прямым углом.

Для определения внутренних силовых факторов в произвольном поперечном сечении, необходимо рассечь балку на две части плоскостью, перпендикулярной оси балки (рисунок 5.3).

Рисунок 5.3

При поперечном  изгибе  во всех сечениях балки нормальная сила  равна нулю, а  внутренние силы сводятся к изгибающему моменту и поперечной силе.

На рисунке 5.4, а представлена изогнутая балка с деформацией изгиба, сопровождаемая растяжением одних волокон и сжатием других, в данном случае: верхние сжимаются, а нижние удлиняются.

  а)

  б)

Рисунок 5.4

Установим следующее правило знаков: изгибающий момент считается положительным, если  он вызывает  растяжение  нижних волокон. Поперечная сила считается положительной, если она стремится повернуть вырезанный из балки элемент по ходу часовой стрелки. 

На  рисунке 5.4, б  показана  балка,  которая  двумя  сечениями, проведенными нормально к оси, разрезана на три части. Действие изгибающего момента и поперечной силы на эти три части показано в положительном направлении.

Изгибающий момент Мх и поперечная сила Qу и интенсивность внешней нагрузки q связаны определенной зависимостью. Вырежем из балки, загруженной равномерной нагрузкой q, изменяющейся по какому-либо закону (рисунок 5.5, а), элемент длиной dх (рисунок 5.5, б). Нагрузку считают положительной, если она направлена кверху; на протяжении длины dх она является равномерно распределенной.

  а)  б)

Рисунок 5.5

    (5.1)

Первые две зависимости используются для проверки правильности построения эпюр моментов и поперечных сил.

5.3 Основные типы балок и  опорных связей.

Определение опорных реакций

Балками называются прямолинейные стержни, работающие на изгиб. В сопромате  термин «балка» значительно шире, чем  в обычном  употреблении данного слова: с точки зрения расчета  на прочность, жесткость и устойчивость балкой  является  не только строительная балка, но также  вал, болт, ось железнодорожного вагона, зуб шестерни и т. п.

       Для воспринятия нагрузки и передачи ее на основание, балка должна быть соединена с ним опорными связями, которые  зависят от устройства опоры. Различают три основных типа опорных связей.

       Шарнирно-неподвижная опора (рисунок 5.6) Эта опора допускает свободный поворот сечения балки над опорой в одной плоскости  относительно оси цилиндрического шарнира, но не дает возможности смещаться,  ни по вертикали, ни по горизонтали. В такой опоре возникают две составляющие реакции: вертикальная R и горизонтальная Н.

Рисунок 5.6

Шарнирно-подвижная опора (рисунок 5.7) Эта опора допускает перемещение в одном направлении, например по горизонтали, и поворот сечения над опорой вокруг шарнира. Реакция такой опоры R направлена вдоль опорной связи или перпендикулярно плоскости опирания катков.

Рисунок 5.7

Жесткая  заделка (рисунок 5.8, а, б).  Данная  опора  не  допускает перемещения и поворота по двум направлениям сечения балки, примыкающего к месту защемления. Реакции в заделке состоят из вертикальной силы R,  горизонтальной силы Н  и момента М. Иногда заделку представляют в виде трех линейных связей (рисунок 5.8, в).

Рисунок 5.8

Для того чтобы балка могла воспринимать нагрузку, расположенную в одной плоскости, ее необходимо закрепить в этой плоскости с помощью связей. Минимальное  число связей обеспечивающих неподвижность балки по отношению к основанию равно трем.

Применяются различные способы крепления балки к основанию: например, можно балку заделать одним концом или закрепить с помощью двух опор (подвижной и неподвижной). Возможен случай крепления с помощью трех подвижных опор, однако при этом нельзя допускать параллельности, а также пересечения в одной точке  трех опорных стержней (рисунок 5.9, а, б). 

Рисунок 5.9

На рисунке 5.10 представлены различные виды балок в зависимости от способов крепления их к основанию.

Рисунок 5.10

  Простая двухопорная балка (рисунок 5.10, а), у которой одна опора шарнирно-подвижная, а другая шарнирно-неподвижная. Балка, с жесткой заделкой на левом конце (рисунок 5.10, б). Балка на двух опорах с консолями по краям (рисунок 5.10, в). Сложная система, состоящая из трех брусьев, шарнирно соединенных в точках К1 и К2 (рисунок 5.10, г). В этой системе число опорных связей равно пяти, но она является статически определимой и называется многопролетной балкой.

Для расчета балок на изгиб необходимо знать все действующие на нее силы. Поскольку внешняя нагрузка обычно задана, то для вычисления всех  действующих на балку сил нужно определять неизвестные опорные реакции. Для их нахождения используются три наиболее часто встречающихся способа: