Инженерная механика Конспект лекций для студентов специальностей 5В072500 - «Технология деревообработки и изделий из дерева», 5В073000 - «Производство строительных материалов, изделий и конструкций» (стр. 12 )

Рисунок 10.6

По мере удаления точки приложения силы от центра тяжести нейтральная линия приближается  к центру тяжести. При внецентренном растяжении-сжатии  нулевая линия может, как пересекать сечение, так и находиться за его пределами.

В окрестностях центра тяжести существует область, называемая ядром сечения.

Ядро сечения – это область, очерченная вокруг центра тяжести и характерная тем, что всякая продольная сила, приложенная внутри этой области, вызывает во всех точках поперечного сечения  напряжения одного знака. Если сила расположена за пределами  ядра сечения, нулевая линия пересекает сечение, и напряжения будут как растягивающие, так и сжимающие.

Если точка приложения силы находится на границе ядра сечения, то нейтральная  линия касается сечения (рисунок 10.7).

  Рисунок 10.7

10.5 Совместное действие кручения и изгиба

       Изгиб с кручением является характерным случаем сложного сопротивления стержней машиностроительных конструкций, например, коленчатых валов, осей и т. п.

       Если стержень подвергается одновременному действию изгиба и кручения, то в его поперечных сечениях возникают пять внутренних усилий – два изгибающих момента и ,  поперечные силы и , а также  крутящий момент .

       При расчете валов, касательные напряжения от действия поперечных сил не учитываются из-за их незначительности (рисунок 10.8).

Рисунок 10.8

       При кручении наибольшие касательные напряжения возникают в точках поперечного  сечения, наиболее удаленных от оси бруса, а при изгибе максимальные нормальные напряжения возникают в точках сечения наиболее удаленных от нейтральной оси. Таким образом, у вала испытывающего совместное действие кручения и изгиба опасное напряжение возникает в точках наиболее удаленных от оси z.

       В каждой точке поперечного сечения вала одновременно возникают:

-  нормальные напряжения от изгиба:

;  (10.27)

-  касательные напряжения от действия поперечных сил не учитываются;

-  касательные напряжения от кручения:

.  (10.28)

       Напряжения и    взятые в отдельности, могут оказаться меньше соответствующих  им допускаемых напряжений, но одновременное их действие может быть весьма  опасным для вала.

       Для проверки прочности элемента, у опасной точки воспользовавшись третьей или энергетической теориями прочности, получим соответственно:

;

(10.29)

.

Значения подкоренных выражений в числителях данных формул называются эквивалентными моментами и обозначаются .

Таким образом, условие прочности можно представить в виде:

  .  (10.30)

При пространственном нагружении вала в его сечениях в вертикальной и горизонтальной плоскостях, кроме крутящего момента возникают и изгибающие моменты и .

Таким образом, при пространственном нагружении вала в случае использования третьей или энергетической гипотез прочности расчет валов ведется как на изгиб, но не по изгибающему моменту, а по эквивалентному, в результате получим следующие выражения:

;

(10.31)

.

11  УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО-СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

11.1 Общие сведения

Продольным изгибом называется изгиб  первоначально прямолинейного стержня вследствие потери устойчивости под действием центрально приложенных продольных сжимающих сил.

Продольный изгиб возникает при достижении сжимающими силами и напряжениями критического значения.

Нагрузки, при превышении которых происходит потеря устойчивости (критическое состояние) называют критическими.

Потеря устойчивости сопровождается возникновением дополнительных напряжений изгиба в поперечных сечениях стержней и является опасным для всей конструкции в целом. Таким образом, для надежной работы конструкции содержащей сжатые стержни, кроме условий прочности и жесткости необходимо выполнение условия устойчивости.

Существует три вида равновесия тел: устойчивое, безразличное и неустойчивое.

Устойчивым - называется такое равновесие, при котором тело после малого отклонения и при устранении воздействия вызвавшего это отклонение возвращается в исходное положение (рисунок 11.1, а).

Безразличным – называется такое равновесие, когда тело после отклонения остается в равновесии и в новом положении (рисунок 11.1, б).

Неустойчивым – называется  такое равновесие, когда тело при малом отклонении не возвращаются в исходное положение, а наоборот удаляется от него (рисунок 11.1, в).

       

Рисунок 11.1

Наибольшее значение центрально-приложенной сжимающей силы, до которого прямолинейная форма равновесия стержня являлась устойчивой, называется критической силой.

При сжимающей силе меньше критической, стойка работает на сжатие, при силе больше критической стрежень работает на совместное действие сжатия и изгиба.

В реальных конструкциях критическое  состояние недопустимо, так как оно приводит к разрушению системы.

11.2 Определение критической силы

Впервые решение задачи по вычислению критической силы  было предложено Эйлером  в 1744 году.

Для стержней  с различными видами закрепления концов формула Эйлера имеет вид:

,  (11.1)

где  Е – модуль упругости материала стержня;

  Jmin – минимальный момент инерции поперечного сечения стойки;

  м – коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления стержня (рисунок 11.2);

  ℓ – длина стойки;

  м·ℓ – приведенная длина стержня.

       

11.3 Критическое напряжение. Гибкость стержня.

  Пределы применимости формулы Эйлера

       Нормальные напряжения соответствующие критической силе, называются критическими и определяются как:

,  (11.2)

где  - минимальный радиус инерции.

       Отношение приведенной длины к минимальному радиусу инерции является гибкостью стержня:

.  (11.3)

       Гибкость – это безразмерная величина, которая  характеризует сопротивляемость стержня потере устойчивости. Чем больше гибкость, тем меньше сопротивляемость стойки потере устойчивости. Гибкость л, не зависит от материала стержня, а определяется его длиной,  формой, размерами сечения и условиями закрепления.

       Таким образом, формулу для определения критического напряжения при продольном изгибе можно представить в виде:

.  (11.4)

       Данное выражение применимо только в пределах закона Гука, когда критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стойки  упц, то есть, при условии:

.  (11.5)

       Гибкость, при которой  , называется предельной гибкостью и обозначается :

.  (11.6)

       Применимость формулы Эйлера определяется выполнением следующего условия:

.  (11.7)

График зависимости от для стержней из пластичного материала (сталей)  представлен на рисунке 11.3.

Стержни условно делятся на три группы:

-  стержни  большой  гибкости  (),  для  которых применима формула Эйлера;

               -  стержни средней гибкости ();