Инженерная механика Конспект лекций для студентов специальностей 5В072500 - «Технология деревообработки и изделий из дерева», 5В073000 - «Производство строительных материалов, изделий и конструкций» (стр. 11 )

,  (10.9)

где  - коэффициент, учитывающий различное сопротивление материала растяжению и сжатию.

       Условие прочности по методу предельных состояний запишется в виде:

.  (10.10)

       

       Энергетическая теория прочности (пятая). Согласно этой гипотезе, опасное состояние  материала в данной точке наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает предельной величины. Условие наступления опасного состояния  записывается в следующем виде:

,  (10.11)

где U – удельная потенциальная энергия формоизменения;

  U0 – предельное значение энергии.

       Условие прочности по методу предельных состояний имеет вид:

.  (10.12)

10.2 Сочетание основных видов деформации

       Ранее рассматривались задачи, в которых брус испытывал отдельно растяжение, сжатие, кручение или изгиб. На практике очень часто встречаются случаи, когда в результате действия нагрузки в поперечных сечениях бруса одновременно появляются несколько компонентов внутренних сил. При этом говорится, что брус находится в условиях сложного сопротивления.

       Сложное сопротивление – это различные комбинации  простых напряженных состояний (растяжение, сжатие, сдвиг, кручение и  изгиб). В общем случае нагружения бруса в его поперечных сечениях действуют шесть внутренних усилий связанные с четырьмя  простыми деформациями стержня: растяжением или сжатием, сдвигом, кручением и изгибом (рисунок 10.3).

Продольная сила и изгибающие моменты вызывают в точках поперечного сечения нормальные напряжения. Нормальные напряжения в каждой точке суммируются алгебраически и при  наличии всех трех их равнодействующих N, Mх и Му определяются по формуле:

,  (10.13)

где  F – площадь поперечного сечения;

  Jх, Jу  - главные моменты инерции поперечного сечения;

  х, у – координаты точек сечения.

Рисунок 10.3

       От поперечных сил  и крутящего момента возникают касательные напряжения. Касательные напряжения в точках поперечного сечения определяются с помощью геометрического суммирования (по величине и направлению) от действия поперечных сил и крутящего момента.

       Среди случаев сложного сопротивления стержней особое место занимают наиболее часто встречающиеся сочетания отдельных простейших видов нагружения, например, так называемого косого изгиба, внецентренного  сжатия  и  одновременного действия кручения с изгибом.

10.3 Косой изгиб

       Если все нагрузки, которые вызывают изгиб, действуют в одной плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей, то изгиб называется косым.

       При косом изгибе действующие внешние силы  приводится к двум плоским изгибам, для чего действующие  в продольных  плоскостях  нагрузки раскладываются на составляющие, лежащие в главных плоскостях (рисунок 10.4, а).  При этом в сечении возникает четыре компонента усилий: Qх, Qу, Mх, Mу.

       Из рисунка 10.4, а видно, что:

;  .  (10.14)

       Для определения напряжений в точках поперечных сечений бруса при косом изгибе необходимо алгебраически суммировать напряжения, возникающие от сил и , т. е. от каждого прямого изгиба в отдельности.

       Рассмотрим действие составляющих сил.

1)  Сила изгибает брус в плоскости оси инерции у, нейтральной осью сечения будет ось х (рисунок 10.4, б). В данном случае величина нормальных напряжений определяется по формуле:

.  (10.15)

Рисунок 10.4

2)  Сила изгибает брус в плоскости оси инерции х, нейтральной осью является ось у (рисунок 10.4, в). Нормальные напряжения можно найти из выражения:

.  (10.16)

       Таким образом, при одновременном действии обоих изгибающих моментов напряжения в точках любого сечения при сложном  (пространственном) изгибе определяются как:

,  (10.17)

при применении этой формулы следует учитывать знаки при координатах х и у.

       В случае косого изгиба изгибающие моменты и связаны зависимостями:

;  ,  (10.18)

где М - изгибающий момент в данном сечении силовой плоскости.

В этом случае формула для определения нормального напряжения может быть представлена в следующем виде:

  .  (10.19)

       Уравнение нейтральной линии можно получить из уравнения (10.17), приняв и обозначив координаты точек нейтральной линии через у0 и х0:

  .  (10.20)

Выражение (10.20) является уравнением прямой линии, проходящей через начало координат. Положение нейтральной линии можно определить тангенсом  угла наклона в к главной оси х:

    (10.21)

       Максимальные по величине нормальные напряжения находятся в точках, максимально удаленных от нейтральной оси. Наибольшие по величине напряжения возникают в точках С и А (рисунок 10.4, г) и выражаются формулами:

  ;

  (10.22)

 

10.4 Внецентренное растяжение-сжатие

       Внецентренным растяжением (сжатием) называется такой вид нагружения, при котором равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, как при обычном растяжении (сжатии), а смещена относительно продольной оси и остается ей параллельной (рисунок 10.5).

       В точке А приложен внешний силовой фактор Р, имеющий координаты хр и ур. Приведя силу Р к центру тяжести, получим нормальную сжимающую силу N=P и два изгибающих момента:

-  изгибающий момент в плоскости главной оси у, ;

-  изгибающий момент в плоскости главной оси х, .

Рисунок 10.5

Таким образом, задачу можно свести к расчету бруса на совместное действие продольной силы и косого изгиба.

Напряжение в любой точке сжатой колонны можно определить,  используя следующую формулу при обязательном учете знаков х и у:

,  (10.23)

где iх  и iу – радиусы инерции площади сечения относительно главных осей х и у, определяемые как:

; .  (10.24)

       Уравнение нейтральной линии можно получить, приравняв к нулю  напряжения, то есть:

.  (10.25)

       Используя данное выражение можно найти отрезки, отсекаемые нулевой линий на осях координат:

-  при х=0 ;

-  при у=0 .

Как и при косом изгибе, наибольшие напряжения возникают в наиболее удаленной точке от нейтральной линии, то есть в точке К (рисунок 10.5):

.  (10.26)

При внецентренном сжатии нулевая линия не проходит через центр тяжести сечения. Нейтральная линия располагается с противоположной стороны от центра тяжести сечения относительно точки приложения силы, например, если сила приложена во втором квадранте, то нулевая линия пройдет с противоположной стороны центра тяжести через первый, третий  и четвертый квадранты (рисунок 10.6).