Исследовательская работа по математике «Сравнения в кольце целых чисел и их применения» (стр. 10 )

Пусть - решение сравнения. Тогда , где . Подставим выражение для в уравнение . Получим следующее: . Из данного уравнения выразим . Для этого сначала раскроем скобки и выразим : , . Затем разделим обе части уравнения на и получим: или . Подставим получившееся выражение для в исходное уравнение и получим выражение для .

Пример 1. Решить уравнение в целых числах.

Решение. Запишем исходное уравнение в виде: . Это значит, что . Следовательно, . Прибавим к правой части сравнения , т. е. получим . , следовательно, сравнение имеет единственное решение :. Значит, , где .

Подставим выражение для в исходное уравнение: или  . Начала из данного уравнения выразим : . Затем выразим : .

Данное уравнение имеет множество решений, удовлетворяющих системе: .

Пример 2. Решить уравнение в целых числах.

Решение. Запишем исходное уравнение в виде: . Это значит, что . Следовательно, . , но т. к. 209 не делится без остатка на 38, то сравнение не имеет решений, как и уравнение .

Пример 3. Решить уравнение в целых числах.

Решение. Запишем исходное уравнение в виде: . Это значит, что . Следовательно, . и 6 делится без остатка на 2, следовательно, сравнение имеет два решения вида:  . Из данного сравнения получим два сравнения: и , откуда и . Подставим выражения для в исходное уравнение и получим выражения для : и  . Т. е. и .