Исследовательская работа по математике «Сравнения в кольце целых чисел и их применения» (стр. 9 )

По условию задачи, число монет не превосходит 500, т. е. .

Пусть , тогда , что удовлетворяет условию. Проверим, верно ли неравенство при других целых . Пусть , тогда , что не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, в кладе было 333 монеты.

Задача из первой олимпиады математического факультета (2010 год).

Оловянный солдатик смело повел в бой свое войско, насчитывающее 300 штыков. После боя он решил построить войско. Однако для прежнего построения в шеренги по 4 не хватило одного солдатика. Для построения в шеренги и по 5, и по 6, также не хватило одного солдатика, и только построение в шеренги по 7 удалось. Сколько солдатиков осталось в войске после боя?

Решение. Опираясь на условие задачи, составим систему сравнений, приняв количество оставшихся солдатиков за :

.

Последнее сравнение имеет единственное решение: . Подставим в первое сравнение системы вместо выражение . Получим:  . Прибавим к правой части сравнения 4, т. е. оно примет вид: . Так как , то последнее сравнение имеет единственное решение или . Подставим выражение для в выражение для . Получим, что .

Найдем те значения , при которых будет удовлетворять второму сравнению исходной системы сравнений. Имеем: или . Прибавим к правой части сравнения 115, поэтому оно примет следующий вид: , откуда или . Таким образом, получим: .

Подставим в третье сравнение системы вместо выражение . Получим: или . Прибавим к правой части сравнения 114, т. е. оно примет вид: . Последнее сравнение имеет единственное решение или  . Подставим выражение для в выражение для . Получим, что , .

По условию задачи, число оставшихся солдатиков не превосходит 300, т. е. .

Пусть , тогда , что удовлетворяет условию. Проверим, верно ли неравенство при других целых . Пусть , тогда , что не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, в войске осталось 119 солдатиков.

Применение сравнений при решении уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными . Запишем данное уравнение в виде: . Это значит, что  . Следовательно, , и множество решений уравнения совпадает с множеством решений сравнения.