Исследовательская работа по математике «Сравнения в кольце целых чисел и их применения» (стр. 7 )

Устанавливаем, что значения , равные 0, 1, 2, 3 не удовлетворяют данному сравнению. При имеем: , а, следовательно, есть решение данного сравнения. Так как сравнение имеет единственное решение, то нахождение решения закончено. Но сравнению удовлетворяет целый класс чисел по модулю. Следовательно, решение получаем в виде:  .

Пример 3. Решить сравнение .

Решение. Так как , и 85 делится на 5, то данное сравнение имеет 5 решений. Разделим обе части сравнения и модуль на 5: . Полученное сравнение имеет единственное решение: .

Следовательно, данное сравнение имеет следующие решения:

;

;

;

;

.

В приведенных примерах даны методы решения сравнений первой степени с одним неизвестным. К ним относятся:

Метод подбора, который основывается на свойствах ПСВ. Метод, основанный на применении формулы (применении теоремы Эйлера).

В ряде упражнений результат может быть получен быстрее, если использовать искусственный прием, основанный на свойстве сравнения: к любой части сравнения можно прибавить число, кратное модулю. Рассмотрим применение данного свойства на конкретных примерах.

Пример 4. Решить сравнение .

Решение. Прибавим к правой части сравнения число 8, равное модулю, получим: . Разделим обе части сравнения на 5, тогда  .

Пример 5. Решить сравнение .

Решение. Прибавив к правой части сравнения число , получим  . Так как , то после деления обеих частей сравнения на 7, получим .

Пример 6. Найти числа, которые при делении на 7, 13, 17 дают в остатке соответственно 4, 9 и 1.

Решение. Искомые числа должны удовлетворять системе сравнений:

                                .

Так как модули сравнений попарно взаимно просты, то эта система имеет единственное решение по модулю .

Первое сравнение имеет единственное решение: . Подставим во второе сравнение системы вместо выражение . Получим:  , .

Так как , то последнее сравнение имеет единственное решение , т. е. , откуда .

Найдем те значения , при которых будет удовлетворять третьему сравнению исходной системы сравнений. Имеем: или , откуда . Следовательно, . Таким образом, в итоге получим: или . Искомым требованиям удовлетворяют все числа вида , .

Пример 7. Решить систему сравнений: