Исследовательская работа по математике «Сравнения в кольце целых чисел и их применения» (стр. 8 )

                               

Решение. Так как модули сравнений попарно взаимно просты, то эта система имеет единственное решение по модулю .

Сначала решим первое сравнение: . Прибавим к правой части сравнения 13, т. е. получим: . Так как , то сравнение имеет единственное решение , откуда  .

Подставим во второе сравнение системы вместо выражение . Получим: или . Прибавим к правой части сравнения 21, т. е. получим: или  , откуда . Подставим выражение для в выражение для . Получим, что .

Найдем те значения , при которых будет удовлетворять третьему сравнению исходной системы сравнений. Имеем:  или , откуда  . Следовательно, . Таким образом, в итоге получим:  или .

Задача про пиратов.

Тринадцать пиратов делят клад золотых монет на палубе шхуны. Если монеты поделить поровну, то останется минимум 8 монет. Через некоторое время двух пиратов смыло за борт. Пираты вновь решили поделить клад поровну. В результате осталось 3 монеты. Затем в перестрелке погибли еще три пирата. Пираты заново попытались поровну разделить клад. В результате осталось 5 монет. Сколько монет было в кладе, если для его переправки на берег было достаточно одного сундука, вмещающего 500 монет.

Решение. Опираясь на условие задачи, составим систему сравнений, приняв количество монет за :

Так как модули сравнений попарно взаимно просты, то эта система имеет единственное решение по модулю .

Первое сравнение имеет единственное решение: . Подставим во второе сравнение системы вместо выражение . Получим:  , . Прибавим к правой части сравнения 44, т. е. оно примет вид: . Так как  , то последнее сравнение имеет единственное решение или . Подставим выражение для в выражение для . Получим, что .

Найдем те значения , при которых будет удовлетворять третьему сравнению исходной системы сравнений. Имеем: или . Прибавим к правой части сравнения 328, поэтому оно примет следующий вид: , откуда или . Таким образом, получим: , .