Исследовательская работа по математике «Сравнения в кольце целых чисел и их применения» (стр. 4 )

Полученное сравнение показывает, что остаток от деления на 10 числа равен 7. Следовательно, .

В рассмотренном примере мы можем выделить следующие этапы его решения:

Исходная формулировка; Переформулировка на язык сравнений и составление сравнения; Решение сравнения; Формулировка ответа на языке чисел.

Пример 1. Найти остаток от деления числа  на 101.

Решение. Найти остаток от деления числа на число – это значит найти такое число , что . В нашем случае, найдем такое число , что . Число 101 является простым. Числа 7 и 101 – взаимно простые, а поэтому из малой теоремы Ферма следует, что  . Возведем данное сравнение в четвертую степень. Тогда . Кроме того, Перемножив почленно два последних сравнения, получим . Из последнего сравнения вытекает, что искомым остатком будет число 49.

Пример 2. Показать, что .

Решение. Показать, что , - это значит доказать справедливость сравнения . Запишем каноническое разложение числа 105: . Замечая, что  и 73 – простое число, применим малую теорему Ферма к числу 73 по модулям 3, 5 и 7. Получим сравнения:  , , . Путем возведения обеих частей сравнения в соответствующие степени, получим сравнения: , , . Воспользуемся следующим свойством: если некоторое сравнение имеет место по нескольким модулям, то оно справедливо по модулю, являющимся наименьшим общим кратным данных модулей. Следовательно, , откуда  .

Пример 3. Показать, что .        

Решение. Показать, что , - это значит доказать справедливость сравнения . Воспользуемся формулой разности квадратов: . Если хотя бы один из сомножителей, стоящих в правой части равенства, делится на 89, то и данное число делится на 89. Так как 89 – простое число, и , то на основании малой теоремы Ферма справедливо сравнение , откуда , а, следовательно, .

Пример 4.  Доказать, что .

Решение. Доказать, что , - это значит доказать справедливость сравнения Разложим делимое на множители: . Так как и, то применяя малую теорему Ферма (числа 7 и 11 – простые), получим:  , . Из последних двух сравнений после возведения соответственно в десятую и четвертую степень, имеем:  , . Отсюда следует, что , . Таким образом .