Исследовательская работа по математике «Сравнения в кольце целых чисел и их применения» (стр. 1 )

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ГОРОДА КОРОЛЁВА МОСКОВСКОЙ  ОБЛАСТИ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №20

141075, г. о. Королёв Московской области,  проспект Космонавтов, д.5а  тел.-495-512-54-50

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

                                       

                       

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

«Сравнения в кольце целых чисел и их применения»

Выполнил:        ученик 10 «А» класса Уманский Илья

Руководитель: учитель математики

Бодрикова  С. В.

                       

Введение

Опыт участия в математических олимпиадах различного уровня показал, что задачи, связанные со свойствами целых чисел, имеют, как правило, громоздкие решения. Перед нами встал вопрос: а можно ли данные задачи решить более простыми способами?

Оказалось, что применение элементов теории сравнений существенно упрощает решение задач. Выяснилось, что уравнения вида можно записать в виде . А данное сравнение можно решить с помощью свойств сравнений. Кроме того, оказалось, что многие задачи на нахождение числа с определенными свойствами можно свести к сравнению первой степени с одним неизвестным либо к системе сравнений.

Новизну и самостоятельный интерес представляет нестандартный подход к решению задач, связанных со свойствами целых чисел.

Задачи исследования: изучить применения сравнений в кольце целых чисел; найти новые и более рациональные способы решения некоторых олимпиадных задач по математике.

Актуальность: обосновывается стремлением к нахождению новых способов решения задач повышенного уровня сложности.

Методы исследования: изучены сравнения в кольце целых чисел, а также их применения; найдены новые способы решения задач повышенного уровня сложности.

Научная новизна: новизну и самостоятельный интерес представляют способы решения поставленных перед нами задач, предложенные автором в данном исследовании.

Практическая значимость: результаты, полученные в работе, как и сам метод исследования, можно применить на факультативных занятиях по математике.

Определение кольца. Примеры.

Множество с определенными операциями сложения и умножения (обозначается ) называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы.

Множество замкнуто относительно операции сложения, т. е. для   – коммутативное свойство. – ассоциативное свойство. Существует единственный элемент такой, что . – нейтральный элемент по сложению. Для любого элемента существует элемент такой, что . Множество замкнуто относительно операции умножения, т. е. . .

Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным.

Если существует нейтральный элемент по умножению, то кольцо называется кольцом с одной единицей.

Не трудно проверить на основании известных свойств, что множество целых чисел является коммутативным кольцом с единицей. В качестве нейтрального элемента по сложению выступает 0, в качестве нейтрального элемента по умножению – 1.

Понятие сравнения.

Определение 1. Целые числа и называются сравнимыми по модулю и записывают , если при делении их на натуральное число получаются одинаковые остатки, т. е. если разность этих чисел делится на.

Пример 1. Даны три числа: 78, 210 и 386. Сравнимы ли они с 27 по модулю 11?

Решение. Вычтем из данных чисел 27. Получим 51, 183 и 319. Из этих трех чисел только 319 делится на11. Следовательно, только 346 сравнимо с 27 по модулю 11, т. е. .

Свойства сравнений.

Свойство 1. Обе части сравнения можно умножить на одно и то же целое число.

Если , то , где