Исследовательская работа по математике «Сравнения в кольце целых чисел и их применения» (стр. 6 )

Сравнение с неизвестной величиной.

Определение 1: Сравнением с одним неизвестным по модулю называется сравнение вида: ,  (1)

левая часть которого  - многочлен с целыми коэффициентами.

Если не делится на число , то число называется степенью сравнения, если , то старший член сравнения (1) удовлетворяет условию  и его можно отбросить.

Определение 2. Решением сравнения называется всякое целое число , которое удовлетворяет сравнению, т. е. такое, что  .

Но в этом случае вместе с числом сравнению удовлетворяют и все числа класса вычетов , сравнимые с по модулю . Поэтому класс вычетов по модулю , числа которого удовлетворяют сравнению считаются за одно решение этого сравнения.

Чтобы найти решение сравнения (1), достаточно подставить в сравнение вместо неизвестного значения по одному числу из различных классов вычетов по модулю . Для этого можно перебрать ПСВ, составленную из наименьших неотрицательных вычетов, а еще лучше – полную систему абсолютно наименьших вычетов.

Сравнение с одной переменной.

Определение 1. Два сравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают.

К операциям, которые не меняют множества решений сравнения, принадлежат:

а) прибавление к обеим частям сравнения произвольного многочлена с целыми коэффициентами;

б) прибавление к одной части сравнения многочлена с коэффициентами, кратными модулю ;

в) умножение обеих частей сравнения на число, взаимно простое с модулем;

г) умножение обеих частей сравнения и модуля на одно и то же положительное целое число.

Определение 2. Сравнение вида или равносильное ему сравнение называют сравнением первой степени (линейным).

При решении сравнений вида возможны два случая: и .

Теорема 1. Если , то сравнение имеет единственное решение.

Теорема 2.  Если и число не делится на , то сравнение  не имеет решений.

Теорема 3. Если и число делится на , то сравнение имеет решений.

Пример 1. Решить сравнение .

Решение. Так как , то сравнение имеет единственное решение. Найдем его решение по формуле ; .

Тогда получим: .

Пример 2. Решить сравнение .

Решение. Так как  , то данное сравнение имеет единственное решение. Решим его методом проб, основанным на свойстве полной системы вычетов, заставляя пробегать последовательно значения 0, 1,2,…,12.