Исследовательская работа по математике «Сравнения в кольце целых чисел и их применения» (стр. 5 )

Пример 5. Найти остаток от деления на 7.

Решение. Найти остаток от деления на 7 – это значит найти такое число , что . Для этого достаточно найти такие и , что и . Тогда  .

Рассмотрим сравнение : - простое число и . Исходя из этого, получим . Возведем обе части в 16 степень: (1). Запишем следующим образом: Так как , то (2). Почленно умножив сравнения (1) и (2), получим . Следовательно, .

Рассмотрим сравнение : - простое число и . Исходя из этого, получим  . Возведем обе части в 16 степень: (3). Запишем следующим образом: Так как и , то  (4). Почленно умножив сравнения (3) и (4), получим . Следовательно, .

Таким образом, , то есть . Мы получили, что . Это означает, что остаток от деления  на 7 будет  равен  1.

Пример 6. В некотором натуральном числе сумма цифр равна 21, оно заканчивается на 21 и делится на 21. Найдите такое наименьшее натуральное число. (Отборочный тур XX Межрегиональной олимпиады школьников «САММАТ-2012»)

Решение. Опираясь на условие задачи, составим систему сравнений, приняв искомое число за :

.

Так как модули сравнений попарно взаимно просты, то эта система имеет единственное решение по модулю .

Первое сравнение имеет единственное решение: . Подставим во второе сравнение системы вместо выражение . Получим: , . Прибавим к правой части сравнения 21, т. е. оно примет вид: . Так как , то последнее сравнение имеет единственное решение или . Таким образом, получим: . По условию задачи, искомое число должно быть наименьшим, и его сумма цифр должна быть равна 21. Подбираем такое наименьшее целое , чтобы удовлетворяла условию. Такое находится и равно 9. Следовательно, такое наименьшее натуральное число 18921.