Исследовательская работа по математике «Сравнения в кольце целых чисел и их применения» (стр. 11 )

Решим уравнение традиционным способом. Перепишем данное уравнение в следующем виде: . Теперь запишем выражение для и обозначим его за : , . Выразим из последнего равенства : . Подставим в исходное уравнение: . Следовательно, . Составим систему уравнений: .

Пусть , тогда система примет вид: .

Пусть , тогда система примет вид: .

Пример 4. Решить уравнение в целых числах.

Решение. Запишем исходное уравнение в виде: . Это значит, что . Следовательно, . и 10 делится без остатка на 5, следовательно, сравнение имеет пять решений вида: . Из данного сравнения получим: , , , , .

Теперь решим уравнение традиционным способом. Перепишем данное уравнение в следующем виде: . Теперь запишем выражение для и обозначим его за : , . Запишем из последнего равенства выражение  для : . Т. к. , то обозначим дробь за некоторое целое число и получим: . Выразим и обозначим за : , . Подставим выражение для в выражение для и и получим систему уравнений: .

Покажем, что все решения сравнения содержатся в решении уравнения. Всё множество целых чисел разобьем на классы вычетов по модулю 5.

Пусть , следовательно, . Это можно записать как или .

Пусть , следовательно, , т. е. .

Пусть , следовательно, , т. е. .

Пусть , следовательно, , т. е. .

Пусть , следовательно, , т. е. .

Из примеров видно, что все решения сравнения содержатся в решении уравнения. Для того, чтобы их найти необходимо рассмотреть все классы вычетов, на которые разбивает множество целых чисел число , где .

Выводы.

С помощью сравнений и их свойств задачи на делимость и нахождение остатка от числа можно решить более рациональным способом, в то время как традиционный способ решения представляет собой довольно большие выкладки. Рассмотрены основные способы решения сравнений и их систем, а также задачи, приводящие к решению сравнений и их систем. Рассмотрено применение сравнений к решению уравнений первой степени с двумя неизвестными. Кроме того,  показана рациональность предложенного нами способа решения.

Список литературы

«Задачник-практикум по алгебре и теории чисел, часть III». М.: Просвещение, 1984;

«Теория чисел». М.: Лань, 2008;

«Введение в алгебру. Основы алгебры». Физматлит, 2001;

«Сборник задач по алгебре и теории чисел». Минск. Вышэйшая школа, 1982;

www. sammat. ru ;

www. math. mrsu. ru .