Исследовательская работа по математике «Сравнения в кольце целых чисел и их применения» (стр. 2 )

Свойство 2. К обеим частям сравнения можно прибавить одно и то же число.

Если , то .

Свойство 3. Два сравнения по одному и тому же модулю можно почленно складывать и вычитать.

Если и , тo .

Свойство 4. Два сравнения по одному и тому же модулю можно почленно умножать.

Если и , тo.

Из данных свойств вытекает ряд важных следствий.

Следствие 1. Любой член сравнения можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком.

Если , то .

Следствие 2. К любой части сравнения можно прибавить число, кратное модулю.

Если  , то , , где .

Следствие 3. Обе части сравнения можно возвести в одну и ту же натуральную степень.

Если , то , где .

Следствие 4. Обе части сравнения можно разделить на одно и то же целое число, взаимно простое с модулем.

Если , то , где и  .

Следствие 5. Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же натуральное число.

Если , то , где .

Следствие 6. Обе части сравнения и модуль можно поделить на общий делитель обеих частей и модуля.

Если , то , где - общий делитель чисел .

Следствие 7. Если сравнение имеет место по нескольким модулям, то оно имеет место и по модулю, являющимся наименьшим общим кратным этих модулей.

Следствие 8. Если сравнение имеет место по какому-либо модулю , то оно имеет место по модулю, являющимся делителем  .

Если сравнение имеет место по модулю  , число - делитель , то оно имеет место по модулю .

Следствие 9. Если , то наибольшие общие делители чисел равны между собой: .

Если , то .

Определение. Система вычетов, состоящая из вычетов, взятых по одному из каждого класса, называется полной системой вычетов по модулю (обозначается ПСВ).

В каждом классе вычетов по модулю можно найти наименьший неотрицательный вычет – вычет, абсолютная величина которого меньше абсолютных величин всех других вычетов класса . Например, в классе по модулю 7: наименьшим неотрицательным вычетом является число , а абсолютно наименьший вычет есть число -2, так как его абсолютная величина меньше абсолютных величин всех других вычетов этого класса.