Курс: логика. Фундаментальный курс (стр. 2 )

Общеутвердительным называется высказывание, являющееся одновременно общим по количеству и утвердительным по качеству. Например: “Все наукоемкие технологии являются перспективными”. На то, что это высказывание общее, указывает кванторное слово “все”, а на то, что оно утвердительное – связка “являются”. Структура общеутвердительного высказывания имеет вид “Все S суть Р”. На языке символической логики общеутвердительное высказывание записывается формулой x(P(x). Этот тип суждения обозначается буквой “А”.

Частноутвердительным называется высказывание, являющееся одновременно частным по количеству и утвердительным по качеству. Например: “Некоторые суждения являются истинными”. Структура данного вида высказываний может быть представлена таким образом: “Некоторые S суть Р”. Этот тип суждения обозначается буквой “I”.

Общеотрицательным называется высказывание, являющееся одновременно общим по количеству и отрицательным по качеству. Например: “Ни одно из предложенных решений не было удовлетворительным”. Структура общеотрицательных высказываний имеет вид “Ни одно S не суть Р”. Данный вид высказываний принято обозначать буквой “Е”.

Частноотрицательным называют высказывание, являющееся одновременно частным по количеству и отрицательным по качеству. Например: “Некоторые произведения современных английских прозаиков не переведены на русский язык”. Обобщенной схемой построения данного вида высказываний является “Некоторые S не суть Р”. Частноотрицательные высказывания обозначают буквой “О”. (Выбор этих знаков аналогичен выбору знаков для утвердительных высказываний. Взяты гласные буквы латинского слова “nego”, означающего в переводе “отрицаю”.)

Логический анализ предложений, выражающих простые атрибутивные высказывания, включает в себя:

а) выявление составных элементов структуры высказывания (субъект, предикат, связка);

в) определение качества и количества высказывания;

с) установление распределенности терминов.

Мы можем выразить свою мысль о соотношении S и Р, уточнив связку. Можно сказать: “все есть”, а можем сказать только: “некоторые есть”; можно утверждать: “есть”, а можно и отрицать: “не есть”. Получается, таким образом, четыре типа простых суждений.

2.4. Выделяющие и исключающие суждения

Получение достоверных выводов, построение убедительных доказательств во многом зависят от правильности оперирования в рассуждениях различными видами высказываний. Корректное использование высказываний А, I, Е, О предполагает знание распределенности их терминов – субъекта и предиката. Проблема распределенности терминов – это проблема соотношения их объемов. Термин считается распределенным, если он полностью входит в объем другого термина или же полностью из него исключается. В случае частичного совпадения объемов терминов последние считаются нераспределенными. Рассмотрим как распределены термины в каждом из выделенных видов высказываний, используя для изображения отношений между объемами субъекта и предиката круговые схемы Эйлера.

Например схема, приведенная на рис. 1, соответствует суждениям: а) “Все люди смертны”; б) “Сократ человек”; в) “Сократ смертен”.

Рис.1.

Заметим, что единичные суждения (“Сократ смертен”; “Сократ не смертен) рассматриваются как общие.

Иногда отношение S и P представляется с помощью прямоугольников (рис.2).

Рис.2

Структура общеутвердительного высказывания “Все S есть Р” свидетельствует о том, что все предметы, мыслимые в его субъекте, входят в объем предиката, но в то же время в объеме предиката могут существовать и такие предметы, которые выходят за пределы класса, мыслимого в субъекте. В самом деле, если истинно высказывание “Все школьники – учащиеся”, то из этого не следует истинность обратного высказывания “все учащиеся – школьники”, ибо, как известно, учащимися являются также и студенты, и слушатели различного рода курсов и т. п. Выражая отношение объемов субъекта и предиката с помощью кругов Эйлера, мы получим в этом случае следующую схему (рис.3).

Так как объем субъекта полностью вошел в объем предиката, то он считается распределенным (согласно определению). Частичное совпадение объема предиката с объемом субъекта свидетельствует о том, что в общеутвердительном высказывании предикат не распределен. (Исключение составят такие общеутвердительные высказывания, в которых субъект и предикат выражены равнообъемными понятиями. Примером может служить любая дефиниция. В этом случае и субъект, и предикат распределены.)

В частноутвердительном высказывании “Некоторые S суть Р” указывается на то, что объемы субъекта и предиката совпадают лишь частично. Например, в высказывании “Некоторые студенты – отличники” фиксируется как наличие общих элементов у указанных классов, так и элементов, принадлежащих каждому из классов в отдельности. На кругах Эйлера это изображается так, как показано на рис.4. Таким образом, в частноутвердительном высказывании ни субъект, ни предикат не распределены. (Исключение составят такие высказывания, в которых объем субъекта больше объема предиката. Например: “Некоторые геометрические фигуры – прямоугольники”. В этом случае субъект не распределен, а предикат распределен.)

Рис. 3 Рис. 4

В общеотрицательном высказывании “Ни одно S не есть Р” указывается на полное исключение предметов, входящих в объем субъекта из объема предиката, что, вполне понятно, позволяет сделать вывод и об исключенности всех предметов, входящих в объем предиката, из объема субъекта. В этой связи, согласно определению, в общеотрицательном высказывании и субъект, и предикат распределены. Отношения между S и Р для общеотрицательных высказываний изображены на рис. 5.

Наконец, в частноотрицательных высказываниях речь идет об исключенности части предметов, мыслимых в объеме субъекта, из всего объема предиката. Отношение между S и Р в высказывании “Некоторые S не есть Р” может быть представлено так, как показано на рис.6. Последнее свидетельствует, что, согласно определению, предикат в частноотрицательных высказываниях распределен, а субъект не распределен.

Рис.5 Рис.6

2.5. Выражение смысла суждения с помощью графической схемы отношений между его терминами

Для облегчения запоминания распределенности терминов в различных видах высказываний можно воспользоваться табл.1 (знак “+” обозначает распределенность термина, а знак “–” – его нераспределенность).

Таблица 1

Распределенность терминов в различных видах высказываний

S	P
A +	−
E +	+
I −	−
O −	+

Как отмечалось выше, проблема распределенности терминов в высказывании не является чисто академической, а имеет вполне конкретное практическое значение при построении различных умозаключений.

2.6. Распределенность терминов в простых суждениях, логический квадрат

В логике существенное значение имеет вопрос об отношениях между суждениями по истинности. Определенные логические отношения существуют также между простыми суждениями типа А, Е, I, О. Исследуя эти суждения, древние греки систематизировали отношения между ними в виде “логического квадрата” (рис.7).

Рис.7

Углы квадрата представляют 4 типа суждений.

А – общеутвердительное: все S есть P.

Е – общеотрицательное: ни одно S не есть P.

I – частноутвердительное: некоторые S есть P.

О – частноотрицательное: некоторые S не есть P.

Другие элементы квадрата представляют отношения между суждениями.

Вертикальные стороны – отношения подчинения: А подчиняет I, Е подчиняет О. Диагонали представляют отношения противоречия: А – О, Е – I. Частично совпадают А с Е, и I с О. Логическая суть этих отношений та же, что в сложных суждениях. Существенно иная природа тех условий, которые представляют отношения простых суждений – здесь все зависит от слова “есть” (в его четырех вариантах).

Для закрепления навыка классификации простых суждений рекомендуется следующее упражнение.

Определите, к какому типу из А, Е, I, О относится данное суждение. Укажите субъект, предикат и связку.

1. Всякое преступление опасно.

2. Некоторые птицы летают.

3. Ни один адвокат не является прокурором.

4. Некоторые юристы – адвокаты.

5. Приговор – вид судебного решения.

3. Сложные суждения

3.1. Сложное суждение и его виды

Сравнивая сложные суждения с простыми, важно отметить следующее. В простом суждении слово “есть” – центральная логическая фигура. Ее четыре варианта предопределяют четыре типа простых суждений. В русском языке используются также связки другого рода – союзы “и”, “но”, “да”, “или”, “либо”, “если..., то” и другие, образующие сложные предложения. Каждый союз имеет свой логический смысл и предопределяет вид сложного суждения. Наша задача – понять этот смысл, и представить многообразие сложных суждений. Для обзора и различия сложных суждений будем пользоваться сокращенной записью. Условимся об обозначениях.

В простых суждениях буквы “ S, Р, М,...Х, У” обозначают термины (субъект и предикат); буквы “ а, е, i, о” – связь терминов.

В сложных суждениях буквы “р, q, r, m, n” – обозначают простые суждения; знаки “” (соответствует союзу “и”), ““ (“или”), ““ (“либо”), “” (“если,..., то”), ““ (“если и только если”), “ щ “ (соответствует союзу “не”). Запись самих суждений будет выглядеть так: p, щ p, pq, pq, pq, pq, pq.

Для обозначения простых суждений используются также знаки: “А, В, С, …”

Теперь у нас к четырем типам простых суждений добавится еще несколько видов сложных суждений:

pq конъюнктивное;

pq дизъюнктивное;

pq строго - дизъюнктивное;

pq импликативное;

pq эквивалентности.

Предвидя вопрос: “Зачем все это различие суждений?” – отступим от последовательного описания конъюнктивных, строго-дизъюнктивных, импликативных и других суждений и обратимся к примеру. Напомним лишь, что цель изучения видов суждений в том, чтобы разобраться в логических отношениях между суждениями.

Представим такую ситуацию. Нам сообщили: 1) Х делится на 2 или Х делится на 3; а затем: 2) Х делится на 2 и Х делится на 3.

Какие новые суждения можно вывести в первом случае и какие во втором?

Наша интуиция, связанная с пониманием слов “или”, “и”, подсказывает следующее. Во втором случае, т. е. при истинности суждения вида “pq”, можно вывести суждение p: “Х делится на 2”. Можно также вывести в этом случае q: “Х делится на 3”. В первом же случае, т. е. при истинности суждения вида “pq”, нельзя логически вывести: Х делится на 2.

В рассмотренной ситуации мы можем констатировать логическое различие между конъюнктивным “pq”, и дизъюнктивным “pq” суждениями.

Интуитивное понимание связок можно выразить словами. Конъюнктивное “pq” истинно только тогда, когда оба (p, q), из которых оно построено, – истинны. Для истинности дизъюнктивного “pq” достаточно, чтобы хотя бы одно из p, q было истинно. Получив информацию первоначально об истинности “pq”, мы не можем с уверенностью сказать, что p – истинно. Например: “4 делится на 2 или 4 делится на 3” – истинно. Но “4 делится на 3” – ложно.

Помимо простых суждений логика изучает также сложные суждения. Сложные суждения образуются путем соединения между собой простых суждений при помощи логических союзов. Существует значительное количество различных логических союзов. Таковыми в современной логике являются следующие: конъюнкция, исключающая и неисключающая дизъюнкции, импликация и эквивалентность. В естественном языке перечисленные логические союзы выражаются при помощи грамматических союзов “и”, “либо..., либо”, “или”, “если..., то”, “тогда и только тогда, когда”.

Не следует полностью отождествлять логические и грамматические союзы. В логическом контексте союзы “и”, “или”, “если..., то” и др. приобретают специфический логический смысл.

Каждый из перечисленных союзов бинарен, т. е. соединяет между собой два суждения. Например: “Эрмитаж расположен на Дворцовой площади, и каждый желающий может его посетить”; “Осенью часто идет дождь или дует ветер”; “Либо данное число делится на два, либо оно является нечетным”; “Если поднести магнит к рассыпанным на листе бумаги железным опилкам, то они расположатся вдоль силовых линий магнитного поля”; “Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда он равноуголен”.

Заметим, что логические союзы могут соединять не только простые суждения, но также простые со сложными и сложные между собой, образуя порой весьма протяженные конструкции. Например: “Если треугольник прямоугольный, то он не остроугольный и не тупоугольный”; “Либо студент Петров должен сдать все экзамены вовремя, либо он должен взять академический отпуск, и если ему удастся получить академический отпуск, то он сможет продолжить обучение в будущем году” и т. п. В состав подобного рода конструкций входит по нескольку логических союзов, но видно, что каждый из них соединяет друг с другом только два каких-нибудь суждения. В таких конструкциях различают связь между главными и подчиненными логическими союзами. Так, в первом из приведенных выше примеров союз “если..., то” является главным, а союз “и” – подчиненным, а во втором союз “и” – главным, а все остальные – подчиненными.

В современной логике сложные суждения классифицируются в зависимости от того, каким у них является главный логический союз. Так, суждения вида “А и В”, где А и В – любые суждения, называются соединительными, или конъюнктивными; суждения вида “А или В” и “Либо А, либо В” – разделительными, или дизъюнктивными; суждения вида “Если А, то В” – условными, или импликативными; суждения вида “А тогда и только тогда, когда В” – суждениями эквивалентности.

3.2. Выражение логических связок в естественном языке

Рассмотрим все эти разновидности сложных суждений по отдельности.

Соединительные (конъюнктивные) суждения. Соединительным, или конъюнктивным, суждением называется суждение, полученное из любых двух других суждений посредством логического союза “и”.

Логический союз “и” имеет следующие свойства. Пусть нам дано некоторое суждение “А и В”. Допустим также, что А и В – семантически независимые друг от друга суждения, т. е. истинность или ложность А не влечет ни истинности, ни ложности В, равно как истинность или ложность В не влечет ни истинности, ни ложности А. Тогда суждение “А и В” является функцией истинности суждений А и В. Это значит, что истинность или ложность суждения “А и В” полностью определяется истинностью или ложностью составляющих его суждений А и В. Очевидно, что для двух семантически независимых друг oт друга суждений возможны только следующие четыре комбинации: оба истинны; А истинно, но В ложно; А ложно, но В истинно; оба ложны. Истинность или ложность конъюнктивного суждения “А и В” заранее известна для каждой из комбинаций суждений А и В. Имеет место следующая зависимость: соединительное суждение истинно тогда, когда истинны оба составляющих его суждения, и ложно во всех остальных случаях.

Из сказанного становится ясным основное различие между логическим и грамматическим союзами “и”. Грамматическим союзом “и” соединяют обычно суждения, имеющие между собой что-либо общее по смыслу. Логический же союз “и” может соединять любые суждения. Единственное требование для того, чтобы конъюнктивное суждение было истинным, заключается в том, чтобы были истинными оба составляющих его суждения.

Разделительные (дизъюнктивные) суждения. Логически различны два типа разделительных суждений: исключающе-разделительные и неисключающе-разделительные.

Исключающе-разделительные суждения. Исключающе-разделительным называется суждение, полученное из любых двух других суждений при помощи логического союза “либо..., либо”. Исключающе-разделительное суждение называют иногда альтернативным. Смысл союза “либо..., либо” состоит в том, что он соединяет несовместимые друг с другом суждения. Этим определяются его семантические свойства.

Суждение “Либо А, либо В”, подобно суждению “А и В” является функцией истинности суждений А и В. Но, разумеется, это другая функция истинности: хотя истинность или ложность суждения “Либо А, либо В” полностью определяется истинностью или ложностью составляющих его суждений, определяется она, однако, по-другому, не так, как для суждения “А и В”. Здесь имеет место следующая зависимость: исключающе-разделительное суждение истинно, когда одно из его составляющих истинно, а другое ложно, и ложно, когда оба составляющих истинны и когда оба они ложны.

Здесь также нужно подчеркнуть разницу между грамматическим и логическим союзами “либо..., либо”. Если имеем дело с логическим “либо..., либо”, то опять-таки связь по смыслу между суждениями А и В необязательна. Для истинности исключающе-разделительного суждения достаточно того, чтобы оба они не были одновременно истинными или одновременно ложными.

Неисключающе-разделительные суждения. Неисключающе-разделительным называется суждение, полученное из любых двух суждений при помощи логического союза “или”. Союзу “или” современные логики не придают исключающего смысла. Суждения, соединяемые “или”, вполне совместимы. В отличие от исключающе-разделительного суждения, неисключающе-разделительное истинно и тогда, когда истинны оба его составляющие. Здесь имеет место такая зависимость: неисключающе-разделительное суждение ложно тогда, когда ложны оба составляющих его суждения, и истинно во всех остальных случаях.

В этом случае тоже справедливо то, что сказано выше относительно двух предыдущих логических союзов: А и В могут быть любыми суждениями, не обязательно связанными по смыслу.

Условные (импликативные) суждения. Условным называется суждение, полученное из любых двух других суждений посредством логического союза “если..., то”. В условном суждении “Если А, то В” составляющая А называется основанием, или антецедентом, а составляющая В – следствием, или консеквентом.

Логический союз “если..., то” не следует путать с соответствующим грамматическим союзом. Обычно в естественном языке союз “если..., то” выражает причинную зависимость или другую какую-либо содержательную связь следования между А и В. Логический союз “если..., то”, как и все вышеописанные логические союзы, может соединять любые суждения и не требует содержательной связи между ними. Условное суждение “Если А, то В” является функцией истинности составляющих А и В, и его истинность или ложность зависит не от их смысла, а лишь от их истинности или ложности. Существует следующая семантическая зависимость: условное суждение ложно тогда, когда его основание истинно, а следствие ложно, и истинно во всех остальных случаях.

Таким образом, получается, что импликативное суждение истинно, если истинны антецедент и консеквент, независимо от их содержания. Будет, например, истинным с логической точки зрения такое суждение: “Если дважды два равно четырем, то снег бел”, хотя с содержательных позиций оно бессмысленно. Истинными с точки зрения логики оказываются также все условные суждения с ложным антецедентом, например такие: “Если дважды два равно пяти, то снег бел” и “Если дважды два равно пяти, то снег черен”, что также бессмысленно с содержательных позиций. Ложно с логической точки зрения условное суждение только в одном случае: когда антецедент истинный, а консеквент ложный. Так, суждение “Если дважды два равно четырем, то снег черен” является ложным. Это соответствует содержательному представлению о том, что условное суждение не может быть истинным, если при истинном основании обнаруживается, что у него ложное следствие.

Суждения эквивалентности. Суждением эквивалентности называется такое суждение, которое получено из любых двух других суждений при помощи логического союза “тогда и только тогда, когда...”. Семантическая характеристика суждения эквивалентности определяется следующей зависимостью: суждение эквивалентности истинно, когда оба составляющих его суждения истинны и когда оба они ложны, и ложно в прочих случаях.

Подводя итог анализа сложных суждений, подчеркнем следующее.

Строго-дизъюнктивное суждение. Используя в речи связку “либо”, мы хотим выразить тот смысл, что в “p либо q” только одно из p, q может быть истинным. В суждении “Х делится на 2 либо Х делится на 3”, мы исключаем, что Х-ом может быть 6, 12 и т. д. В предложении “Или дождик или снег, либо будет либо нет” использованы сначала нестрогая дизъюнкция, а затем строгая. Логическую форму его можно записать так:

(pq) (rr).

Импликативное (условное) суждение вида pq (если p, то q) фиксирует условную зависимость между p, q. Логически в нем выражена та мысль, что когда истинно первое (p), называемое антецедентом, тогда обязательно истинно второе (q), называемое консеквентом. Например, “Если число оканчивается на 4, то оно делится на 2”. Обратная зависимость в суждении этого вида не предполагается, т. е. мы не утверждаем, что если число делится на два, то оно оканчивается на 4.

Суждение эквивалентности pq (если только если p, то q) выражает предположение в импликации “обратного следования”. Когда в суждении вида pq “скрыта” еще и мысль qp, тогда мы имеем дело с суждением эквивалентности. “Если Х делится на 2, то Х – четное”. В данном случае верно и то, что если Х четное, то оно делится на 2. Поэтому мы могли бы сказать: “Если и только если Х делится на 2, то Х четное”.

Практически важно отличать суждения эквивалентности от суждений чисто условных (импликативных); а суждения строго дизъюнктивные от (слабо) дизъюнктивных. Особую роль в образовании суждений играет слово “не”. Для любого данного p можно образовать его отрицание не p (щ p). Изменение истинности при этом очевидно: p – было истинно, щ p стало ложным; а если p было ложно, щ p – стало истинным. Эту зависимость, а также зависимость истинности сложных суждений от входящих в них простых (о ней говорилось выше) можно свести в таблицу 2.

Таблица 2

Зависимость истинности сложных суждений от входящих в них простых

p	q	щ p	p q	p q	p q	pq	pq
И	И	Л	И	И	Л	И	И
И	Л	Л	Л	И	И	Л	Л
Л	И	И	Л	И	И	И	Л
Л	Л	И	Л	Л	Л	И	И

Примеры предложений, выражающих определенные виды суждений:

1) p Петр идет.

Х – четное.

2) щ p Петр не идет.

Х – нечетное.

3) pq Петр идет, а Иван поет.

Два – четное число, но оно простое.

4) pq Петр идет или Иван поет.

Х – четное число, или Х простое.

5) pq Петр идет или он сидит.

Х – четное, либо Х нечетное.

6) pq Если Петр следователь, то он юрист.

7) pq Если это ромб с прямыми углами, то это квадрат.

Анализ сложных суждений получил развитие в теории высказываний. Современная теория высказывания включает в себя также вопрос о логических законах, хотя еще совсем недавно его изложение, особенно в учебниках логики, давалось в самостоятельном разделе. Обращалось внимание прежде всего на четыре закона – закон тождества, закон противоречия, закон исключенного третьего и закон достаточного основания. Первые три из них сформулированы Аристотелем, четвертый – Лейбницем. Благодаря использованию математических методов было уточнено понятие логического закона. Число логических законов в рамках логики высказываний бесконечно. Были разработаны точные и беспристрастные методы отличия “законных” рассуждений от “незаконных”. Логика высказываний – предмет следующего параграфа.

4. Классическая логика высказываний и предикатов

Наряду с именем, высказывание – важнейшая категория логики. Разработка логической теории высказывания шла двумя путями.

Во-первых, высказывание рассматривалось как нерасчлененное целое, самостоятельно вступающее в логические отношения с другими такими же высказываниями. Традиция такого рассмотрения восходит к работам представителей стоико-мегарской логической школы. К сожалению, эти работы до нас не дошли, и об их содержании мы можем судить по комментариям авторов более позднего времени, в частности Диогена Лаэртского.

Во-вторых, высказывание анализировалось с точки зрения наличия в нем составных частей – субъекта и предиката, благодаря которым осуществлялись логические связи в различного рода рассуждениях. Особая заслуга здесь принадлежат Аристотелю – “отцу логики”.

Развитие названных линий в истории логики завершилось созданием двух важнейших разделов современной логики – логики высказываний и логики предикатов.

По определению , логика высказываний – это определенная совокупность формул, т. е. сложных высказываний, записанных на специально сконструированном искусственном языке.

4.1. Язык логики высказываний

Язык логики высказываний включает в себя:

1) неограниченное множество переменных: а, b, с, ..., p, q, r,..., представляющих высказывания;

2) особые символы для логических связок: , , , , , щ;

3) скобки, играющие роль знаков препинания обычного языка. Чтобы использовать меньшее количество скобок, условливаются, что операция отрицания выполняется первой, затем идут конъюнкция и дизъюнкция и только после этого импликация и эквивалентность.

Определение понятия формулы логики высказываний:

1) переменная а, b, с… p, q…есть формула;

2) если А – формула, то щ А тоже формула;

3) если А – формула, В – формула, то АВ тоже формула;

4) если А – формула, В – формула, то АВ тоже формула;