Курс: логика. Фундаментальный курс (стр. 3 )

5) если А – формула, В – формула, то АВ тоже формула;

6) если А – формула, В – формула, то АВ тоже формула;

7) если А – формула, В – формула, то АВ тоже формула.

Никаких других формул кроме указанных в пп. 1-7, в языке логики высказываний нет.

4.2. Формулы логики высказываний

Как уже отмечалось, формулам логики высказываний, образованным из переменных и связок, в естественном языке соответствуют предложения. К примеру, если p есть высказывание “Сейчас ночь”, q высказывание “Сейчас темно” и c – высказывание “Сейчас ветрено”, то формула

pqc

или точнее:

(p (qc))

представляет высказывание “Если сейчас ночь, то сейчас темно или ветрено”.

Ранее рассматривались таблицы истинности, позволяющие определять истинностное значение сложных высказываний на основе истинностных значений простых высказываний и характера их связи. Каждой формуле логики высказываний соответствует своя таблица истинности, показывающая, при каких подстановках конкретных высказываний в данную формулу она дает истинное сложное высказывание, а при каких – ложное.

Из всех формул логики высказываний особый интерес представляют всегда истинные формулы, поскольку через них определяются понятия закона логики и логического следования.

4.3. Семантические таблицы логики высказываний

Всегда истинная формула логики высказываний, или тавтология, – это формула, дающая истинное высказывание при любых подстановках в нее конкретных (т. е. истинных или ложных) высказываний.

Тавтологией является, например, формула p щp. Эта формула представляет собой дизъюнкцию высказывания p и его отрицания. Дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно. Если высказывание p истинно, то высказывание не - p ложно, а их дизъюнкция истинна. Если p ложно, то не - p истинно, а их дизъюнкция опять-таки является истинной. В классической логике возможны лишь два варианта: высказывание p истинно или оно ложно. Значит, дизъюнкция (p щp) всегда истинна.

Тавтологией является и формула (pp). Она представляет собой импликацию. Импликация является ложной только в том случае, когда ее основание истинно, а следствие ложно. Но этот случай невозможен, поскольку и основанием, и следствием рассматриваемой импликации является одно и то же высказывание, а оно не может быть одновременно и истинным, и ложным.

Внутренняя структура тавтологии гарантирует, что она всегда превратится в истинное высказывание, какими бы конкретными высказываниями мы ни заменяли ее переменные.

Наряду с понятием всегда истинной формулы (тавтологии) используется также понятие всегда ложной формулы.

Всегда ложная формула, или логическое противоречие, всегда превращается в ложное высказывание при подстановке конкретных высказываний вместо ее переменных.

Логическим противоречием является, например, формула (p щp). Она представляет собой конъюнкцию, и из нее получилось бы истинное высказывание, если бы входящие в нее высказывания p и не - p были одновременно истинными. Но это невозможно, так как согласно таблице для отрицания если p – истинно, то не - p – ложно. Значит, рассматриваемая формула является всегда ложной.

4.4. Таблицы истинности

Всякой формуле соответствует таблица истинности.

Покажем для примера, что формула (аb) (щ b щ а) является тавтологией. Для этого переберем варианты подстановок конкретных высказываний вместо переменных а и b. Таких вариантов, очевидно, четыре: оба подставляемых высказывания истинны, оба они ложны, одно из них истинно, а второе ложное. Далее строим последовательно таблицы для формул (аb), щ b, щ а и (щ b щ а), из которых слагается рассматриваемая формула. После этого строим завершающую колонку для этой формулы и получаем полную таблицу 3.

Таблица 3

Таблица истинности

а	B	аb	щ b	щ а	щ b щ а	(аb)(щ b щ а)
И	И	И	Л	Л	И	И
И	Л	Л	И	Л	Л	И
Л	И	И	Л	И	И	И
Л	Л	И	И	И	И	И

В результирующей колонке таблицы встречается только значение “истинно”, т. е. формула является всегда истинной.

Построение таблиц истинности является процедурой, с помощью которой можно отличать тавтологии от всех иных формул, не являющихся тавтологиями. Понятие закона логики совпадает с понятием тавтологии. Используя таблицы истинности, можно определить понятие закона логики и отличить логические законы от тех формул, которые законами не являются. Определение понятия закона логики является той конечной целью, которую с самого начала преследовало введение таблиц истинности.

Логическими законами являются, в частности, всегда истинные формулы: (p щ p), (pp), (аb) ( щ b щ а).

4.5. Понятие тождественно истинной, тождественно ложной и выполнимой формул

На основе понятия закона логики определяется понятие логического следования.

Из высказывания А логически следует высказывание В, когда условное высказывание (АВ) является законом логики.

Например, из высказывания p логически следует оно само, поскольку формула (pp), есть закон логики.

Поскольку формула (аb) (щ b щ а) есть тавтология и, значит, логический закон, можно сказать, что из условного высказывания (аb) логически следует условное высказывание (щ b щ а). Подставим вместо переменных а и b конкретные высказывания, чтобы проиллюстрировать этот случай логического следования на содержательных примерах. Из высказывания “Если есть причина, то есть следствие” логически следует высказывание “Если нет следствия, то нет и причины”; из высказывания “Если число делится на 9, то оно делится на З” следует высказывание “Если число не делится на 3, то оно не делится на 9” и т. п.

Одним из наиболее известных законов логики является закон противоречия. Он был открыт еще Аристотелем, который назвал его “самым достоверным из всех начал, свободным от всякой предположительности”.

Закон противоречия говорит о противоречащих друг другу высказываниях, т. е. о таких высказываниях, одно из которых является отрицанием другого. К противоречащим относятся, например, высказывания: “Луна – спутник Земли” и “Луна не является спутником Земли”, “Семь – нечетное число” и “Неверно, что семь – нечетное число”.

Идея, выражаемая законом противоречия, проста: высказывание и его отрицание не могут быть вместе истинными.

Пусть p обозначает произвольное высказывание, щ p – отрицание этого высказывания. Тогда закон противоречия можно представить так:

щ (p щ p)

“неверно, что p и не- p”. Неверно, например, что Солнце – звезда и Солнце не является звездой, что человек – разумное существо и вместе с тем не является разумным.

Название закона противоречия связано с тем, что он говорит о логическом противоречии. Но в то же время он отрицает противоречие, объявляет его ошибкой и тем самым требует непротиворечивости – отсюда другое распространенное его имя – закон непроmuворечия.

Большинство неверных толкований этого закона и большая часть попыток оспорить его приложимость если не во всех, то хотя бы в отдельных областях связаны с неправильным пониманием логического отрицания, а значит, и противоречия.

Высказывание и его отрицание должны говорить об одном и том же предмете, рассматриваемом в одном и том же отношении. Эти высказывания должны совпадать во всем, кроме того, что то, что утверждается в одном, должно отрицаться в другом. Если этого нет, нет и противоречия.

По своей форме высказывание “Осень настала и еще не настала” напоминает противоречие. Но если в этом высказывании подразумевается, что, хотя по календарю уже осень, тепло, как летом, противоречием оно не является. Предложением “Человек – и ребенок, и старик” говорят иногда, имея в виду, что один и тот же человек в начале своей жизни – ребенок, а в конце ее – старик. Действительного противоречия здесь тоже нет. Нет его и в словах песни: “Речка движется и не движется... Песня слышится и не слышится...”

Иногда закон противоречия формулируют следующим образом: из двух противоречащих друг другу высказываний одно должно быть ложным.

Эта версия подчеркивает опасность, связанную с противоречием. Тот, кто допускает противоречие, вводит в свои рассуждения или в свою теорию ложное высказывание. Тем самым он стирает границу между истиной и ложью, что, конечно же, недопустимо.

Закон исключенного третьего, как и закон противоречия, устанавливает связь между противоречащими друг другу высказываниями. Идея, выражаемая им, заключается в следующем: из двух противоречащих высказываний одно является истинным. Символически:

(p щ p)

“p или не- p”, т. е. истинно высказывание p или истинно его отрицание, высказывание не- p.

Само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как описывается в рассматриваемом высказывании, или так, как говорит его отрицание, и никакой третьей возможности нет.

Закон исключенного третьего кажется самоочевидным, и трудно представить, что кто-то мог предложить отказаться от него. Немецкий ученый Д. Гильберт утверждал даже, что отнять у математиков закон исключенного третьего – это то же самое, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользоваться кулаками.

И тем не менее критика в адрес закона исключенного третьего звучала не один раз, и положил ей начало сам Аристотель, открывший этот закон.

Аристотель сомневался в приложимости закона исключенного третьего к высказываниям о будущих событиях. В настоящий момент наступление некоторых из них еще не предопределено. Нет причины ни для того, чтобы они случились, ни для того, чтобы они не произошли. “Во второй понедельник следующего месяца будет солнечно”. Это высказывание сейчас скорее всего ни истинно, ни ложно. Таким же является его отрицание. Сейчас нет причины ни для того, чтобы через год в данный день было солнечно, ни для того, чтобы было пасмурно. Но закон исключенного третьего утверждает, что или само высказывание, или его отрицание истинно. Значит, заключал Аристотель, хотя и без особой уверенности, данный закон следует ограничить одними высказываниями о прошлом и настоящем и не прилагать его к случайным высказываниям о будущем.

Гораздо позднее, уже в XX в., размышления Аристотеля над законом исключенного третьего натолкнули на мысль о возможности принципиально нового направления в логике – так называемой многозначной логики, допускающей наряду с истинными и ложными высказываниями также неопределенные высказывания.

В прошлом веке немецкий философ Г. Гегель весьма иронично отзывался о законе противоречия и законе исключенного третьего. Последний он представлял, в частности, в такой форме: “Дух является зеленым или дух не является зеленым” и задавал “каверзный” вопрос: какое из этих двух утверждений истинно?

Ответ на этот вопрос не представляет, однако, труда. Ни одно из двух утверждений: “Дух зеленый” и “Дух не зеленый” не является истинным, поскольку оба они бессмысленные. Закон исключенного третьего, как и всякий закон логики, приложим только к осмысленным высказываниям. Только они могут быть истинными или ложными. Бессмысленное же не истинно и не ложно.

Резкой, но хорошо обоснованной критике подверг закон исключенного третьего в начале XX в. голландский математик Л. Брауэр ( гг.). Он был убежден, что логические законы не являются абсолютными истинами, не зависящими от того, к чему они прилагаются. Возражая против закона исключенного третьего, он настаивал на том, что между утверждением и его отрицанием имеется еще третья возможность, которую нельзя исключить. Она обнаруживает себя при рассуждениях о бесконечных множествах объектов.

Допустим, что утверждается существование объекта с определенным свойством. Если множества, в которое входит этот объект, конечно, то можно перебрать все объекты. Это позволит выяснить, какое из следующих двух утверждений истинно: “В данном множестве есть объект с указанным свойством” или же: “В этом множестве нет такого объекта”. Закон исключенного третьего здесь справедлив.

Но когда множество бесконечно, то объекты его невозможно перебрать. Если в процессе перебора будет найден объект с требуемым свойством, первое из указанных утверждений подтвердится. Но если найти этот объект не удастся, ни о первом, ни о втором из утверждений нельзя ничего сказать, поскольку перебор не проведен до конца. Закон исключенного третьего здесь не действует: ни утверждение о существовании объекта с заданным свойством, ни отрицание этого утверждения не является истинным.

Критика Брауэром закона исключенного третьего привела к созданию нового направления в логике, получившего название интуиционистской логики. В последней не принимается данный закон и отбрасываются все те способы рассуждения, которые с ним связаны.

4.6. Основные теоремы логики высказываний

Классическая логика высказываний может быть построена как система аксиом и теорем, реализующая принципы непротиворечия, исключенного третьего, тождества. Приведем некоторые основные теоремы логики высказываний.

Закон тождества:

(pp).

Закон транзитивности (переходности):

(pq) (qr) (pr).

Закон двойного отрицания:

(щ щ pp).

Существуют разработанные в математике методы приведения сложных формул логики высказывания к так называемым нормальным формам. Например, конъюнктивная нормальная форма содержит только связки конъюнкции и отрицания. Эти методы позволяют оценить истинность формул логики высказываний.

4.7. Метод приведения к нормальной форме

Логика предикатов строится на основе логики высказываний и использует все ее операции и союзы. Она в дополнение к логике высказываний включает такие понятия, как имя, предикат и квантор. Термин “предикат” употребляется в логике предикатов в ином смысле, чем в силлогистике. Последняя считает предикатом то, что говорится о предмете мысли, или имя, фиксирующее некоторое свойство предмета мысли. В логике предикатов предикат – это то же, что и пропозициональная функция с одной или несколькими именными переменными А(х). Переменная х путем подстановки может принимать значения из строго определенной области. Эта область называется предметной областью соответствующего предиката.

Допустим, предикат А(х) принимает значения из строго определенной области М, или, иначе говоря, предикат А(х) определен на множестве М. Тогда на этом же множестве определен и предикат щ А(х), который превращается в истинное высказывание при тех значениях из множества М, при котором А(х) превращается в ложное высказывание, и наоборот. Например, отрицание предиката “х делится на два”, определенного на множестве чисел, превращается в истинное высказывание, если вместо х подставлять нечетные числа, и в ложное, если вместо х подставлять четные числа. В то же время предикат “х делится на два” в первом случае превращается в ложное высказывание, а во втором – в истинное.

Если же на некотором множестве М определены два предиката А(х) и В(х), то на этом же множестве можно определить и сложные предикаты А(х) В(х), А(х) В(х), А(х) В(х) и другие, причем:

- предикат А(х)В(х) превращается в истинное высказывание при тех и только тех значениях х, при которых оба предиката А(х) и В(х) превращаются в истинные высказывания;

- предикат А(х)В(х) превращается в истинное высказывание при тех и только тех значениях х, при которых хотя бы один из предикатов А(х) и В(х) превращается в истинное высказывание;

- предикат А(х)В(х) превращается в ложное высказывание при тех и только тех значениях х, при которых А(х) превращается в истинное высказывание, а В(х) превращается в ложное высказывание;

- предикат А(х)В(х) превращается в истинное высказывание при тех и только тех значениях х, при которых предикаты А(х) и В(х) превращаются в высказывания, имеющие одинаковые значения истинности.

Логика предикатов реконструирует всякое атрибутивное высказывание таким образом, что при его выражении используются имена, предикаты, кванторы, а также конъюнкция, дизъюнкция и другие функторы, позволяющие строить более сложные логические формы из менее сложных. Так, общеутвердительное высказывание “Все тела протяженны” (S a P) записывается в виде

x (S(x) Р(х)),

где выражение S(x) обозначает предикат “х – тела”, а выражение Р(х) – “х протяженно”. Реконструированное высказывание читается: “Для всякого х, если х – тело, то х протяженно”.

Общеотрицательное высказывание “Ни один паук не насекомое” (S e P) приобретает вид

x (S(x) щ Р(х)),

где выражение S(x) обозначает предикат “х – паук”, а выражение Р(х) – “х – насекомое”. Реконструированное высказывание читается: “Для всякого х, если х – паук, то х – не насекомое”.

Частноутвердительное высказывание “Некоторые студенты – спортсмены” (S i P) фиксируется в форме

х (S(x) Р(х)),

где S(x) обозначает “х – студент”, а Р(х) – “х – спортсмен”.

Частноотрицательное высказывание “Некоторые небесные тела не имеют атмосферы” (S o P) записывается в виде

х (S(x) щ Р(х)),

где S(x) – “х – небесное тело”, Р(х) – “тело, имеющее атмосферу”.

ПосколькухА(х) истинно, если А(х) превращается в истинное высказывание при подстановке вместо х каждого элемента а, b, с,..., определенного на предметной области М, и ложно в противном случае, постольку квантор общности можно рассматривать как обобщение конъюнкции с бесконечным числом членов А(а) А(b) А(с) ...

Поскольку выражение х А(х) превращается в истинное высказывание при подстановке вместо х хотя бы одного элемента а, b, с,..., определенного на предметной области М, и ложно в противном случае, постольку квантор существования можно рассматривать как обобщение дизъюнкции с бесконечным числом членов А(а) А(b) А(с) ...

В этом проявляется тесная связь логики предикатов и логики высказываний. Правила выводов и законы последней являются правилами выводов и законами логики предикатов. Однако обратное неверно: некоторые правила выводов и законы логики предикатов, в частности правила удаления и введения кванторов, о которых речь пойдет ниже, не являются характерными для логики высказываний.

Правила выводов логики предикатов, как и в логике высказываний, можно подразделить на основные и производные. К основным относятся все правила выводов логики высказываний, а также правила удаления и введения кванторов.

Формулировку правил удаления и введения кванторов предварим разъяснением понятия правильной подстановки в логике предикатов, т. е. такой подстановки, в результате которой из истинных выражений получаются истинные выражения. Чтобы выполнить требование правильной подстановки, нужно придерживаться следующих ограничений.

1. Подставляемые имена должны принадлежать той же предметной области, на которой определена переменная х. Мы не можем в выражение “х (определен на предметной области чисел) меньше единицы” подставить, например, наименование предмета из предметной области городов, ибо это приведет к бессмыслице.

2. Подстановка имен вместо переменной х возможна лишь там, где она свободна. Например, нельзя в выражении “Для всякого х, если х – человек, то он смертен” связанную переменную х заменить именем какого-то конкретного человека, например, “древнегреческий философ Сократ”, ибо выражение “для всякого древнегреческого философа Сократа” не имеет смысла.

3. Подстановка имени вместо переменной х, если мы к ней прибегаем, должна осуществляться везде, где встречается переменная х в данном выражении.

После этих предварительных замечаний перейдем к формулировке правил удаления и введения кванторов в логике предикатов, формализующей силлогические рассуждения.

Правило удаления квантора общности (У):

.

В соответствии с правилом удаления квантора общности, исходя из того, что все предметы некоторой области имеют указанное свойство, можно сделать вывод о том, что и каждый отдельно взятый предмет данной области имеет это свойство. Логический закон, соответствующий этому правилу, в традиционной логике получил наименование аксиомы силлогизма: “Все, что утверждается (или отрицается) относительно всех предметов данного класса, утверждается (или отрицается) относительно каждого предмета данного класса”.

Правило введения квантора общности (B):

.

Это правило устанавливает, что свойство, присущее любому предмету некоторого класса, принадлежит также всем предметам этого класса, но лишь при условии, что знание об этом свойстве получается на основе анализа этих предметов, заранее отождествленных и обобщенных между собой по каким-то параметрам. В соответствии с этим правилом можно, например, доказывая теорему о равенстве диагоналей квадрата, пользоваться некоторым квадратом, нарисованным на доске. Этот квадрат, однако, следует рассматривать как любой квадрат, определяемый равенством углов и сторон, из чего выводится равенство его диагоналей. Но, доказав, что диагонали этого квадрата равны, по правилу B можно распространить это свойство на все квадраты.

Близким правилу Локка является правило математической индукции. Оно опирается на использование двух обоснованных высказываний. В первом, называемом базой математической индукции, утверждается, что предикат А(х) превращается в истинное высказывание при некотором значении х, например, при х = 1. Во втором говорится, что если натуральное число x = k обладает свойством А, то и непосредственно следующее за ним число k + 1 также обладает этим свойством. Отсюда заключается, что для всякого числа х предикат А(х) превращается в истинное высказывание. Так с помощью математической индукции можно доказать наличие некоторых свойств у бесконечного ряда чисел.

Условие применимости правила математической индукции составляет допущение об однозначной определенности и качественной однородности фигурирующих в рассуждениях предметов. Их особенности, по-видимому, были ясны уже в древности. Античному философу Эвбулиду приписывают парадокс “Куча”, передающийся в следующем изложении: одно зерно кучи не составляет; прибавив одно зерно, кучи не получишь; как же получить кучу, прибавляя каждый раз по одному зерну, из которых ни одно не составляет кучи? Здесь выявляется ограниченность правила математической индукции, которое неприменимо в сфере неоднородных, разных по качеству предметов.

Правило введения квантора существования (В):

.

Согласно правилу В из утверждения, что любой произвольно взятый или определенный предмет имеет какое-то свойство, можно сделать вывод о том, что существует предмет, обладающий этим свойством. Если, например, установлено, что серная кислота окрашивает лакмусовую бумажку в красный цвет, то можно, согласно В, сформулировать частное высказывание “Существует х (предметная область – множество кислот), окрашивающий бумажку в красный цвет”, или, что то же самое, “Некоторые (может быть, и все) кислоты окрашивают лакмусовую бумажку в красный цвет”.

Правило удаления квантора существования (У):

.

Это означает, что из истинности частного высказывания х А(х) можно делать вывод об истинности единичного высказывания вида А(а), являющегося результатом подстановки постоянной а вместо переменной х.

5. Булевы алгебры

5.1. Алгебра множеств (логика классов)

Булевы алгебры описывают объединение, пересечение, исключение и дополнение объемов имен.

Совокупность предметов, составляющих объем имени, называется классом. Мысленно оперируя с ними, можно создавать их новые сочетания, новые классы.

Мысленные действия с объемами имен, которые приводят к образованию новых объемов, называются операциями с классами. Основными из них являются объединение классов (логическое сложение), пересечение классов (логическое умножение), исключение из класса (логическое вычитание) и образование дополнения к классу (логическое отрицание).

При рассмотрении операций с классами вводятся следующие символические обозначения: А, В, С, ... – произвольные классы; U – универсальный класс; И – знак операции объединения классов; З – знак операции пересечения классов; / – знак операции исключения из класса; А’ – знак операции дополнения к классу А (читается: не-А).

Объединением классов (логическим сложением) называется логическая операция, в результате которой образуется новый класс, состоящий из таких предметов, каждый из которых является элементом, по крайней мере, одного из слагаемых классов. Полученный в результате объединения класс АИВ называется суммой классов A и В.

Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10

Например, сумма классов, соответствующих объемам имен, находящихся в отношении подчинения, “трудящийся” (А) и “рабочий” (В) заштрихована на рис.8; именам, объемы которых находятся в отношении пересечения, “женщина” (А) и “врач” (В) – на рис.9, а противоречащим именам “растение” (А) и “не-растение” (А’) – на рис.10.

Нужно отметить, что логическая сумма не всегда совпадает с математической. Так, в первом примере сумма классов трудящихся и рабочих равна классу трудящихся. Исключение составляет сумма внеположных классов, которая всегда точно совпадает с математической суммой их элементов.

В языке операция сложения передается повторением союза “и”, а также оборотами “совместно с”, “вместе с”, “в том числе и” и некоторыми другими. Например: “В подготовке школы к новому учебному году приняли участие и учителя, и ученики, и родители”, “Рабочие завода совместно с администрацией решили взять предприятие в аренду”, “В районе все населенные пункты, в том числе и хутора, электрифицированы”. Повторение союза “и” при образовании суммы двух классов в художественных текстах часто заменяется дефисом. Например: “Жучки-червячки спрятались под листья”. Здесь выражение “жучки-червячки” не является сложным именем, а только выражением суммы двух классов.