Системный анализ (стр. 15 )

Игра имеет седловую точку в чистых стратегиях тогда и только тогда, когда существует элемент матрицы , минимальный в своей строке и в то же время максимальный в столбце.

.

Любая игра (), обладающая этим свойством, называется с седловой точкой.

Если α < V < b, то игра не имеет седловой точки и в чистых стратегиях не имеет решения. Она решается в смешанных стратегиях.

Смешанной стратегией игрока называют совокупность чистых стратегий, взятых с определенными вероятностями (частостями).

Решение задачи в смешанных стратегиях сводится к задаче линейного программирования. При этом среди смешанных стратегий игроков А и В выявляются оптимальные смешанные стратегии, которые дают цену игры V, и по сути получается игра с нулевой суммой.

Процедура решения игры в смешанных стратегиях заключается в следующем.

Пусть — оптимальная смешанная стратегия игрока А, V — цена игры.

Тогда задача линейного программирования для нахождения оптимальной смешанной стратегии игрока А имеет вид:

.

Затем необходимо поделить обе части выражений под знаком системы на цену игры V. Введя обозначения:

,

получим

(5.20)

.

Аналогично для определения оптимальной смешанной стратегии игрока В осуществим следующую процедуру.

Пусть — оптимальная смешанная стратегия игрока В, V — цена игры.

Тогда задача линейного программирования для нахождения оптимальной смешанной стратегии игрока В имеет вид:

.

Затем необходимо поделить обе части выражений под знаком системы на цену игры V. Введя обозначения

получим

(5.21)

.

Задачи (5.20) и (5.21) являются взаимно двойственными. Решая одну из них (проще решить задачу (5.21)) симплекс-методом и применив теоремы двойственности, находим оптимальное решение и другой задачи. После чего, осуществив обратные замены в обозначениях, получим оптимальные смешанные стратегии игроков и цену игры.

В заключение следует отметить, что задача теории игр в чистом виде является задачей синергетики. Здесь осуществляется согласование противоречий при совместном действии двух объектов, а в качестве оценки синергетического эффекта выступает цена игры V, которая приводит к согласию две конфликтующие стороны.

5.8. Оценка взаимодействия систем методами

векторной алгебры

Достаточно распространенной задачей является оценка эффекта от совместного действия двух объектов. Для ее решения необходимо иметь следующие исходные положения.

Пусть объект обладает определенными потенциалами, которые в структурной форме выражаются в виде вектора определенной размерности.

— потенциальные возможности первого объекта;

— потенциальные возможности второго объекта;

— i-я составляющая потенциала k-го объекта.

В геометрической форме эти два объекта можно представить в n-мерном признаковом пространстве (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Геометрическое построение равнодействующей

двух векторов

Тогда равнодействующая потенциалов объектов представляет собой вектор .

Естественно, чем ближе значения потенциальных возможностей объектов, тем выше эффект от их совместного действия. Следовательно, первой задачей выступает оценка близости потенциальных возможностей объектов. Математически данная задача решается методом векторной алгебры и сводится к нахождению угла между векторами и .

Для более наглядного представления решения задачи возьмем двумерный случай, т. е. возьмем двумерное векторное пространство.

Тогда

,

,

.

Определим косинус угла между векторами и :

,

при этом

,

,

,

тогда в развернутом виде

.

Как известно, косинус угла между векторами представляет собой коэффициент корреляции между признаками. Другими словами, косинус угла между векторами отражает тесноту связи между потенциальными возможностями объектов. Следовательно, чем больше косинус угла, тем теснее связь между потенциалами объектов, а в связи с этим и синергетический эффект от совместного их действия будет выше.

В то же время интерес представляет и мера участия того или иного объекта в получении равнодействующей. В качестве этих мер может выступать теснота связи между векторами и , а также между и .

Итак,

,

,

при этом чем больше косинус угла, тем больше вклад данного объекта в равнодействующую.

По сути, равнодействующая двух векторов и представляет собой новый объект, полученный от интеграции первых двух.

Поскольку вектор, представленный в координатной форме, отражает потенциальные возможности объекта, то обобщающим показателем потенциала может выступать длина вектора. Длина вектора по сути представляет суммарный эффект, полученный от совместного действия двух объектов.

Как уже было отмечено, что чем ближе вектора между собой, тем и равнодействующая их будет больше. Другими словами, чем больше косинус угла между векторами (чем больше корреляция между потенциальными возможностями объектов), тем потенциальные возможности интегрированного объекта будут выше.

Так как вектор отражает суммарные потенциальные возможности объектов с потенциальными возможностями и , то длины векторов и есть ни что иное, как величины, пропорциональные затратам объектов. Длина же вектора отражает величину, которая пропорциональна результату от совместного действия двух объектов. Тогда в качестве эффективности совместного действия двух объектов, представленной в классическом виде как отношение результата к затратам, можно использовать величину

или же

,

а в развернутом виде

.

Таким образом, чем больше корреляция между потенциальными возможностями двух объектов, тем выше эффективность их совместного действия.

Для n-мерного случая суть рассуждений не изменится, а формулы расчета показателей будут следующими.

Пусть

,

,

,

тогда

,

,

,

.

Таким образом, методы векторной алгебры позволяют рассчитать синергетический эффект и эффективность от совместного действия двух однородных объектов.

5.9. Оптимальное управление случайным процессом

Метод прогнозирования цепями Маркова предлагает инерционность развития случайного процесса. Однако зачастую результаты прогноза, согласно инерционному подходу, побуждают к необходимости управления этим процессом.

В зависимости от поставленной цели принимается та или иная модель управления, которая предполагает определенный метод решения задачи достижения цели. В качестве таковых можно использовать методы оптимального управления. Рабочей моделью при этом выступает матричное уравнение теории оптимального управления:

(5.22)

где — значения показателей, описывающих объект исследования в начале периода уравнения;

— эталонные значения показателей или вектор цели;

— значения управляющих параметров, необходимые для достижения показателями эталонных значений;

F — матрица перехода показателей X;

G — матрица перехода управляющих параметров U в показатели X.

Следует пояснить, что в качестве вектора цели выступает стратегическая цель объекта исследования. Следовательно, достижение этой цели лежит в основе выработки стратегии развития объекта.

Решение задачи оптимального уравнения случайным процессом в конечном счете сводится к нахождению оптимальной структуры управляющих параметров U. С этой целью, используя методы матричных преобразований, выразим из матричного уравнения (5.22) эталонные значения управляющих параметров U* следующим образом:

, (5.23)

где Т — знак транспонирования.

Затем определяется доля каждого управляющего параметра во всем объеме фонда управления, как

(5.24)

при этом — оптимальная структура управляющих параметров.

Допустим, объем фонда управления равен К. Тогда поэлементно он распределяется следующим образом:

(5.25)

При данном объеме фонда управления и его структуре показатели, описывающие объект исследования, рассчитываются по формуле:

(5.26)

по сути — значения показателей, описывающих объект исследования, которые он может достичь, если оптимально распределить фонд управления случайным процессом.

Таким образом, формирование оптимальной структуры управляющих параметров, согласно вектору цели, представляет собой оптимальную стратегию объекта. Реализация этой стратегии позволит объекту достичь эталонного состояния X*, распределяя фонд управления случайным процессом за каждый временной шаг согласно оптимальной структуре.

Глава 6. Методология системного анализа

устойчивости случайного процесса

Разработка методологии системного анализа устойчивости случайного процесса являет собой актуальнейшую проблему, учитывая то обстоятельство, что она предполагает исследование случайного процесса любой природы: физического, демографического, экономического, социального, экологического и других процессов. Следовательно, нужно с этой целью определить общие принципы исследования случайного процесса.

В рамках проблемы разработки методологии системного анализа устойчивости случайного процесса требуется поэтапно осветить следующие вопросы, являющиеся элементами методологии. В частности, к таким вопросам можно отнести:

1.Системный анализ как методологический инструмент исследования.

2.Устойчивость как категория случайного процесса.

3.Управленческий системный анализ устойчивости случайного процесса.

3.1. Анализ дискретного случайного процесса.

3.2. Анализ непрерывного случайного процесса.

4.  Стратегический системный анализ устойчивости случайного процесса.

4.1. Системное прогнозирование случайного процесса.

4.2. Оптимальное управление случайным процессом.

5.  Взаимосвязь категорий «риск» и «устойчивость» случайного процесса.

Рассмотрим последовательно все эти вопросы в логической последовательности в рамках данной работы.

6.1. Системный анализ как методологический инструмент

исследования

В первую очередь, прежде чем описывать суть системного анализа, следует дать понятие категории «система». Хотя существует большое количество определений данной категории, и они иногда в деталях не совпадают, все же, на наш взгляд, самое удачное определение этого понятия формулируется так: «Система — множество элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, которое образует определенную целостность, единство».

Поскольку определение этого понятия не единственно, то следует все же перечислить те принципы, которые характерны для любой системы, и они лежат в основе любого определения данной категории. Итак, эти признаки таковы:

-  система обладает целостностью, все её части служат достижению единой цели;

-  система является большой как с точки зрения разнообразия составляющих её элементов, так и с точки зрения количества одинаковых частей;

-  система является сложной, что означает наличие большего количества связей между элементами как по вертикали, так и по горизонтали. Следовательно, изменение в каком-либо одном компоненте влечет за собой изменение в других;

-  независимо от сложности и размера система обладает чертами «черного ящика», их поведение в любой момент недетерминировано как в силу стохастической природы входных действий, так и внутреннего её поведения;

-  большинство систем, и в первую очередь наиболее сложные системы, содержат элементы конкурентной ситуации, т. е. обязательно существуют элементы, которые стремятся уменьшить эффективность системы.

Системный анализ — научная дисциплина, разрабатывающая общие принципы исследования сложных объектов с учетом их системного характера.

Как научную дисциплину системный анализ можно считать дальнейшим развитием идей кибернетики — науки об общих принципах и законах управления, понимаемого как организация целенаправленных действий путем переработки информации. Как и кибернетика, системный анализ исследует категории, общие для любых дисциплин и относящиеся к так называемым системам, которые изучаются любой наукой.

Когда речь идет об изучении действующих, развивающихся систем, то системное исследование может иметь два аспекта — генетический и функциональный, т. е. изучение системы в развитии и изучение её реального действия, функционирования.

Будучи методологией исследования объектов посредством представления их в качестве систем и анализа этих систем, системный анализ представляет собой весьма эффективное средство решения сложных, обычно недостаточно четко сформулированных проблем в науке, на производстве и в других областях. При этом любой объект рассматривается не как единое, неразделимое целое, а как система взаимосвязанных составных элементов, их свойств, качеств. Соответственно системный анализ сводится к уточнению сложной проблемы и её структуризации в серию задач, решаемых с помощью экономико-математических методов, нахождению критериев их решения, детализации целей, конструированию эффективной организации для достижения целей. Системный анализ любого объекта проводится в несколько этапов. Главные из них — следующие:

1.Постановка задачи — определение объекта исследования, постановка целей, задание критериев для изучения объекта и управления им.

2.Выделение системы, подлежащей изучению, и её структуризация.

3. Составление математической модели изучаемой системы: параметризация, установление зависимостей между введенными параметрами, упрощение описания системы путем выделения подсистем и определения их иерархии, окончательная функция целей и критериев.

Таким образом, создается модель системы, которая помогает лучше её понять, выделить главное — то, благодаря чему можно поставить и решить задачу. Такую модель называют также абстрактной системой. Результаты исследования абстрактной системы по определенным правилам можно перенести на реальные изучаемые системы (объекты исследования). В этом смысле применение системного анализа целесообразно прежде всего при решении сложных проблем управления — сложных в том смысле, что требует выбора наилучших альтернатив в условиях неполноты информации, неопределенности и т. п. Системный анализ применяется, в частности, при проектировании организационных структур управления. При этом одно из правил заключается в том, что необходимо строить оргструктуры в зависимости от задачи и методов решения, а не наоборот, как обычно бывает на практике, при выборе альтернатив путем сопоставления затрат на реализацию возможных альтернатив с их ожидаемой эффективностью.

6.2. Устойчивость как категория случайного процесса

Прежде чем вести речь об устойчивости случайного процесса, следует дать его понятие. Итак, случайный процесс представляет собой случайную функцию от независимой переменной t — времени. Иначе говоря, это такой процесс, течение которого может быть различным в зависимости от случая, причем вероятность того или иного течения определена.

Случайный процесс можно рассматривать либо как множество реализаций функции , либо как последовательность случайных величин , заданных в различные моменты времени . Случайный процесс дискретен или непрерывен в зависимости от того, дискретно или непрерывно множество его значений. Если дискретен аргумент , то говорят о процессе с дискретным временем, или случайной последовательности.

Если свойства процесса не зависят от начала отсчета времени, то такой процесс называется стационарным. Вместе с тем стационарность понимается как постоянство во времени характеристик случайного процесса. Отсутствие этого постоянства характеризует случайный процесс как нестационарный. Из этого можно сделать вывод, что поведение стационарного случайного процесса более предсказуемо в перспективе, нежели нестационарного.

При изучении любого процесса или динамической системы остро встает вопрос об устойчивости этого процесса. Следовательно, возникает необходимость в осмыслении этой категории. Остановимся на различных подходах в формулировании этого понятия.

Так, в частности, в словаре-справочнике «Математика и кибернетика в экономике» под редакцией , устойчивость понимается как стабильность, являющаяся одним из основных понятий кибернетики, тесно связанной с идеей инвариантности, то есть неизменности свойств системы относительно каких-либо преобразований.

При изучении динамических систем термин инвариантность часто употребляется без указания соответствующего преобразования, при этом имеется в виду инвариантность (или неизменность) по времени. Система может обнаружить сложное поведение, однако некоторые её свойства остаются при этом неизменными.

Таким образом, некоторые высказывания о системе будут неизменно истинными, несмотря на её беспрерывное изменение. Семантически близкими к понятию «устойчивость» являются такие понятия, как «равновесие», «стационарность» и т. д., однако они имеют более узкий смысл.

Рассмотрим наиболее общее определение устойчивости системы. Устойчивость — бихевиористический термин и определяется при рассмотрении поведения системы. Линия поведения системы называется устойчивой относительно некоторой области фазового пространства, если, начавшись внутри этой области, она никогда её не покидает. Поле системы устойчиво относительно данной области, если все образующие его линии поведения устойчивы относительно нее (т. е. поле целиком содержится в этой области). Система является устойчивой относительно данной области фазового пространства, если её поле устойчиво относительно этой области.

Простейшим случаем устойчивости поведения системы является «равновесие», т. е. такое состояние системы, в котором она остается сколь угодно долго, если отсутствуют возмущающие воздействия.

Другим примером устойчивости поведения системы является случай, когда поведение системы характеризуется циклом. Цикл возникает, если при отсутствии возмущений система периодически проходит повторно одну и ту же последовательность состояний — устойчивое множество состояний.

Состояние равновесия (или цикл) системы может быть устойчивым, неустойчивым или безразлично устойчивым относительно некоторого возмущения, действующего на систему. Под возмущением понимается любое воздействие на систему, переводящее её из одного состояния в другое. Результаты влияния возмущения на систему, находящуюся в состоянии равновесия, могут быть различны. Если система возвращается в состояние равновесия при возмущениях из некоторой области, то равновесие называется «устойчивым относительно этой области». Если после воздействия система сохраняет состояние, вызываемое возмущением, говорят, что система «безразлично устойчива». В других случаях система считается неустойчивой.

Устойчивое поведение системы обычно является полезным свойством, поскольку позволяет достичь некоторые цели, интересующие исследователя. Однако иногда устойчивость является нежелательным проявлением инерционности системы и существенно ограничивает возможность управления.

Например, устойчивость миграционных потоков населения между экономическими районами страны, с одной стороны, благоприятствует возможности разработки прогноза миграционных потоков на перспективу; с другой стороны, эта устойчивость делает миграционные потоки слабоуправляемыми, что существенно сдерживает темпы развития хозяйства в так называемых трудонедостаточных районах.

Устойчивость является свойством, которое принадлежит всей системе в целом и не может быть приписано какой-либо её части в отдельности. При соединении нескольких систем в одну суперсистему нельзя сказать, что она будет устойчива, если её части обладают в отдельности устойчивым поведением. Наоборот, несколько нестабильных систем при объединении могут образовать стабильную суперсистему. Несколько систем могут образовать стабильное целое при одном способе соединения и нестабильное при другом.

Система находится в состоянии равновесия тогда, и только тогда, когда каждый элемент находится в состоянии равновесия, определяемом другими элементами. Этот принцип лежит в основе многих определений и моделей экономического равновесия.

С позиции системного подхода любой объект является, как правило, многомерным и представляет собой систему. В исследовании системы встает первостепенной важности вопрос — обладает ли она в динамике устойчивостью или нет? Следовательно, в первую очередь следует определиться в термине «устойчивость» как категории случайного процесса — стационарного или нестационарного.

В экономико-математическом словаре под авторством данная категория трактуется следующим образом.

Устойчивость системы — есть способность динамической системы сохранять движение по намеченной траектории, поддерживать намеченный режим функционирования, несмотря на воздействующие на нее возмущения.

Основными видами устойчивости является равновесие, гомеостаз, стационарный режим. Эти состояния системы характеризуются следующим образом.

Равновесие — взаимное погашение разнонаправленных сил, при котором свойства системы остаются неизменными.

Гомеостаз — неизменность существенных параметров системы независимо от влияния внешней среды.

Стационарный режим — циклическое повторение одной и той же последовательности состояний.

На наш взгляд, данное определение устойчивости системы требует более глубокого осмысления и пояснения.

Как известно, динамическую систему описывает процесс её поведения в динамике. Следовательно, говоря об устойчивости системы, мы ведем речь об устойчивости процесса её поведения в динамике. В признаковом же пространстве этот процесс описывается траекторией движения системы. Тогда в терминах геометрической интерпретации процесса поведения системы понятия устойчивости и неустойчивости системы можно сформулировать так.

Система называется неустойчивой, если малые изменения параметров приводят к резким изменениям траектории процесса (катастрофы сборки).

В свою очередь устойчивость системы представляет собой малое изменение траектории процесса при малых изменениях исходных параметров в области своих возможных значений. То есть система является устойчивой, если в окрестности любой точки траектории движения системы малое изменение исходных параметров не приводит к резким изменениям траектории.

В то же время, любой процесс имеет степени свободы, поэтому его можно подвергнуть управлению. Подвергая случайный процесс управлению, решается основная задача — как из нестационарного случайного процесса получить процесс близкий к стационарному. Задача управления в конечном счете сводится, таким образом, к снижению уровня риска случайного процесса.

Поскольку как нестационарный, так и стационарный процессы являются случайными, то в их поведении риск исключить невозможно. Однако уровень риска стационарного случайного процесса гораздо ниже, чем нестационарного.

Одним из способов снижения уровня риска является метод оптимального управления, в основе которого лежит корректировка управляющих параметров таким образом, чтобы процесс поведения системы был предсказуемым. Тогда с точки зрения оптимального управления процесс развития системы будет стационарным или близким к нему, а следовательно, устойчивым, если энтропия управляющих параметров будет постоянна.

Используя данную трактовку категории устойчивости, присущую любому случайному процессу, можно сформулировать и изучить такие категории, как демографическая устойчивость, экономическая устойчивость, финансовая устойчивость, устойчивость физического процесса и т. д. Все они имеют единые гносеологические корни.

6.3. Управленческий системный анализ устойчивости

случайного процесса

При разработке стратегии развития системы необходимо исследовать не только внешнюю среду, но и ситуацию внутри системы. Необходимо идентифицировать те внутренние элементы, которые могут рассматриваться как сильные и слабые стороны системы, оценить их важность и устойчивость, какие из этих элементов могут стать основой конкурентного преимущества. Для этого проводится управленческий анализ.

Управленческий анализ — это процесс системного анализа внутренних ресурсов объекта, направленный на оценку текущего состояния, выявления тенденций и закономерностей развития, а также определение стратегических проблем.

Конечной целью управленческого анализа является предоставление информации лицам, принимающим решения для принятия адекватных стратегических решений, выбора стратегии, которая в наибольшей степени соответствует будущему системы.

В системном анализе приходится сталкиваться с изучением процессов развития многомерного динамического объекта. Как известно, любой процесс можно описать определенной функцией, которая будет отражать непрерывно поведение системы, являющейся этим исследуемым динамическим объектом, в течение какого — либо периода времени. В то же время, если процесс описывается дискретными состояниями объекта, то он отражается посредством точек в координатной форме в многомерном признаковом (фазовом) пространстве.

При этом возникает задача оценки устойчивости процесса развития, если он представлен дискретными значениями своего состояния в динамике. В решении данной задачи можно использовать методику, суть которой заключается в следующем.

Ключевой задачей в рамках данной методики выступает определение уровня развития системы (потенциала), оцененного по всему комплексу показателей, описывающих его, и построение шкалы для измерения потенциала объекта.

Остановимся подробнее на определении понятия потенциала многомерного динамического объекта.

В физическом смысле потенциал тела — это количественная мера возможности тела совершить некоторую работу. Возникает вопрос — как измерить потенциал тела?

Потенциал одного тела измерить нельзя, но можно его измерить при помощи другого тела, которое называется «эталоном», или его еще называют «носитель потенциала». Само понятие потенциала возникло в астрономии и характеризовалось как возможность тел притягиваться друг к другу (закон всемирного тяготения), т. е. как понятие гравитации, а затем, как способность взаимодействия различных тел.

Абстрагируясь от конкретного физического понятия потенциала, можно обобщить его следующим образом. Пусть изучается некоторый динамический объект произвольной природы. Эволюционный процесс предполагает изменение уровней развития объектов. Естественно, что однородные объекты, имеющие различные уровни развития, обладают и разными потенциальными возможностями в осуществлении процесса изменения как внутренней своей структуры, так и внешней среды.

Исходя из этих рассуждений, можно обобщить понятие потенциала объекта произвольной природы и сформулировать его так: «Потенциал динамического объекта — есть количественная мера его развития, оцененная по совокупности показателей, описывающих его».

Естественно, в этом случае необходим формальный аппарат для аналитических способов измерения потенциала, т. е. нахождения формул для его вычисления. В математике функция, которая позволяет вычислить значение потенциала, называется потенциальной функцией, или потенциалом.

Пусть объект исследования описывается системой показателей x1, x2, …, xn. Проведя наблюдения в динамике за период , можно свести эти данные в информационный массив в виде матрицы «время — признак», элементами xij которой являются значения j — го показателя в момент времени наблюдения ti.

Для построения потенциальной функции необходимо выбрать носитель потенциала, или эталонный объект. Поскольку мы рассматриваем один объект в динамике, то следует определить эталонные значения показателей системы. Так как в качестве эталонных можно выбрать любые значения, с которыми сравниваются наблюдаемые значения показателей в динамике, то их средние значения вполне могут выступать в качестве эталонных.

Так как потенциал объекта есть уровень его развития, то для определения уровня следует построить некоторую ось с началом и направлением. Значение проекции состояния объекта в момент наблюдения ti на эту ось будет представлять собой количественную меру уровня развития объекта. Такой осью может являться первая главная компонента, построенная по исходному информационному массиву, которая имеет вид:

где

— среднее значение j-го признака;

— среднее квадратическое отклонение j-го признака, а потенциальная функция для вычисления потенциала объекта в момент времени ti будет выглядеть следующим образом: