Системный анализ (стр. 6 )

При анализе оценок, полученных от экспертов, часто возникает необходимость выявить конкордацию — согласованность их мнений по нескольким факторам. Для этого используют коэффициент конкордации, который является числовым критерием согласованности мнений экспертов в рассматриваемой группе. Коэффициент конкордации определяется по формуле

V = S / Smax,

где S — сумма квадратов разностей рангов (отклонений от среднего), определяемая по формуле

Smax — максимальное значение S, которое имеет место в случае, когда все эксперты дают одинаковые оценки.

Можно показать, что суммарное квадратичное отклонение от их среднего значения для суммарных (по всем экспертам) рангов факторов при наилучшей согласованности будет определяться значением

В приведенных формулах, как и ранее, m — число экспертов в группе, n — число факторов. Величина коэффициента конкордации может меняться в пределах от 0 до 1, причем его равенство единице означает, что все эксперты дали одинаковые оценки, а равенство нулю означает, что связи между оценками, полученными от разных экспертов, не существует. Коэффициент конкордации удобно рассчитывать по формуле, предложенной Кендаллом:

.

В случае W < 0,2—0,4 говорят о слабой согласованности экспертов, а большие величины W > 0,6—0,8 свидетельствуют о сильной согласованности экспертов. Слабая согласованность обычно является следствием следующих причин:

-  в рассматриваемой группе экспертов действительно отсутствует общность мнений;

-  внутри группы существуют коалиции с высокой согласованностью мнений, однако обобщенные мнения коалиций противоположны.

В рассмотренном выше примере для m = 4, n = 3 (табл. 4.4) найдем сумму квадратов отклонений в соответствии с приведенной выше формулой:

S = (11 — 8)2 + (8 — 8)2 + (5 — 8)2 = 18,

в этой формуле среднее значение определяется как m(n+1)/2 = 8.

Полученная величина коэффициента конкордации W = 0,56 показывает среднюю степень согласованности мнений экспертов.

Для определения степени согласованности мнений двух экспертов удобно пользоваться коэффициентом ранговой корреляции (по Спирмену):

,

где xj и yj — ранги, установленные двумя экспертами; n — число факторов.

Величина коэффициента ранговой корреляции принимает значения в интервале от -1 до 1. В случае наименьшей зависимости между двумя рядами номеров рангов величина коэффициента корреляции будет малой (близкой к нулю).

Метод нормирования или последовательного сравнения. Он сводится к следующему. Факторы Ф1 — Фn, подлежащие экспертной оценке, выписываются напротив шкалы, размеченной в процентах или относительных величинах от 0 до 1. Эксперту предлагается соединить линией каждый фактор с требуемой (по мнению эксперта) точкой шкалы. Допускается проводить к одной точке шкалы несколько линий (рис. 4.2).

 

Рис. 4.2. Метод нормирования

Результаты опроса нескольких экспертов сводятся в матрицу опроса (табл. 4.6), на основании которой производятся вычисления следующих величин:

-  сумма весов, даваемых i-м экспертом всем факторам,

-  относительный вес j-го фактора на основании оценки i-го эксперта

-  результирующий вес j-го фактора

Таблица 4.6

Матрица опроса нескольких экспертов

Эксперт	Фактор	Сумма
1	2	…	j	…	n
1 2 … i … m	b11 b21 … bi1 … bm1	b12 b22 … bi2 … bm2	… … … … … …	b1j b2j … bij … bmj	… … … … … …	b1n b2n … bin … bmn	B1 B2 … Bi … Bm

Рассмотрим расчет результирующих весов на небольшом примере.

В табл. 4.7 приведены результаты опроса четырех экспертов по двум факторам.

Таблица 4.7

Матрица опроса (четыре эксперта, два фактора)

Эксперт	Фактор
1	2
1 2 3 4	0,6 0,4 0,8 0,4	0,2 0,2 0,4 0,8

После расчета сумм весов, даваемых i-м экспертом всем факторам, получим табл. 4.8.

Таблица 4.8

Матрица расчета сумм весов

Эксперт	Фактор	Сумма
1	2
1 2 3 4	0,6 0,4 0,8 0,4	0,2 0,2 0,4 0,8	0,8 0,6 1,2 1,2

Далее рассчитываем относительные веса всех факторов по всем экспертам и результирующие веса каждого фактора. Все расчеты сведены в табл. 4.9.

Таблица 4.9

Матрица расчета относительных весов

Эксперт	Фактор	Сумма
1	2
1 2 3 4	0,75 0,67 0,67 0,33	0,25 0,33 0,33 0,67	1,0 1,0 1,0 1,0
Результирующий вес фактора	0,605	0,395	4,0

Метод Дельфи является одним из наиболее перспективных методов формирования групповой оценки экспертов. Этот метод получил название от древнегреческого города Дельфи и мудрецов, славившихся предсказаниями будущего. Метод представляет собой ряд последовательно осуществляемых процедур, направленных на формирование группового мнения экспертов. Для этого метода характерны следующие три основные черты:

-  анонимность;

-  регулируемая обратная связь;

-  групповой ответ.

Анонимность предполагает использование специальных вопросников и других средств индивидуального опроса, в частности диалоговых средств персональных компьютеров.

Регулируемая обратная связь осуществляется путем проведения нескольких туров опроса, причем обработка результатов каждого тура осуществляется с помощью статистических методов и результаты ее сообщаются экспертам.

Применение статистических методов обработки группового ответа позволяет уменьшить статистический разброс индивидуальных оценок (снижение в знаниях неопределенности вероятностного характера) и получить групповой ответ, в котором наиболее верно отражено мнение каждого эксперта.

Следовательно, анонимность опроса позволяет ослабить влияние отдельных «доминирующих» экспертов, а регулируемая обратная связь снижает влияние индивидуальных и групповых интересов, не связанных с решаемыми задачами, т. е. обратная связь повышает объективность и надежность групповой оценки. Таким образом, итеративная процедура проведения опросов в несколько туров (с информированием экспертов о результатах предыдущих этапов опроса и предложениями в ряде случаев обосновать свое мнение) приводит к уменьшению разброса в индивидуальных ответах и создает несомненные преимущества дельфийского метода по сравнению с «простым» статистическим объединением индивидуальных мнений при обработке экспертных данных анкетными методами.

При обработке результатов опроса на каждом туре полученные экспертные оценки Кi (i = l, 2, …, n) упорядочиваются, например, в порядке убывания, и определяются характеристики положения и разброса. При этом в связи с тем, что обычно используют незначительное число экспертов, вместо традиционных числовых характеристик в виде математического ожидания и среднеквадратического отклонения предпочтительно в качестве характеристик положения и разброса использовать более устойчивые — медиану и квартили.

Медиана служит характеристикой группового ответа, предпочтительный интервал квартилей — показателем разброса индивидуальных оценок. За медиану Ме принимается член ряда, по отношению к которому число экспертных оценок с начала и конца ряда (справа и слева от медианного значения) будет одинаковым (рис. 4.3). Затем определяется верхний и нижний квартили представляющие собой интервалы, в каждый из которых попадает 25 % значений ряда. Средние квартили, расположенные слева и справа от медианы, считаются предпочтительными как характеристики разброса (QН QВ).

 

Рис. 4.3. Показатели разброса индивидуальных оценок

На следующем туре каждому эксперту сообщаются значения полученных характеристик. Экспертов, чьи оценки оказались в крайних квартилях (справа от QВ или слева от QН), просят обосновать их мнения и причины расхождения с групповым мнением. Так как ответы экспертов анонимны, они имеют возможность пересмотреть свои мнения, данные на предыдущем туре, и при желании исправить оценки. Такая процедура позволяет всем экспертам принять в расчет обстоятельства, которые они могли случайно пропустить или которыми они пренебрегли в предыдущих турах. После получения новых оценок определяются новые медиана и квартили. Процедура может повторяться 3—4 раза.

Такая итеративная процедура позволяет после каждого тура эффективно уменьшать разброс индивидуальных экспертных оценок. При этом средняя оценка экспертов, изменивших свое мнение, сдвигается по направлению средней оценки группы (медианы), а эксперты, не изменившие свои оценки, дают более точное и строгое их обоснование.

Экспериментально установлено, что при использовании метода Дельфы наличие в группе менее знающих экспертов оказывает более слабое их влияние на групповую оценку, чем при простом усреднении оценок, поскольку итерация помогает этим специалистам улучшить свои оценки за счет использования информации от более компетентных специалистов.

Глава 5. Аналитические методы системного анализа

5.1. Интегральная оценка потенциала системы

Любой объект представляет собой многомерный динамический объект или систему, поскольку он описывается множеством показателей. При изучении процессов развития объекта особую актуальность приобретают задачи определения уровня его развития (потенциала), оцененного по комплексу показателей, и построения шкалы для измерения потенциала объекта. Несмотря на достаточную сложность, нами предлагается следующий подход к их решению.

В физическом смысле потенциал тела — это количественная мера возможности тела совершить некоторую работу. По закону сохранения количества энергии в основе проявления работы лежит энергия. Следовательно, потенциал — это энергия, а точнее потенциальная энергия. Но энергия и работа имеют одни и те же единицы измерения, что, по сути, характеризует двойственный характер работы.

Таким образом, потенциальная энергия — есть неосуществленная работа, которая может быть осуществлена проявлением этой энергии. Возникает вопрос — как измерить потенциал тела?

Потенциал одного тела измерить нельзя, но можно его измерить при помощи другого тела, которое называется «эталонным», или его еще называют «носитель потенциала». Само понятие потенциала возникло в астрономии и характеризовалось как возможность тел притягиваться друг к другу (закон всемирного тяготения), то есть как понятие гравитации, а затем как способность взаимодействия различных тел.

Абстрагируясь от конкретного физического понятия потенциала, можно обобщить его следующим образом.

Пусть изучается некоторый динамический объект произвольной природы. Эволюционный процесс предполагает изменение уровней развития объектов. Естественно, что однородные объекты, имеющие различные уровни развития, обладают и различными потенциалами, возможностями в осуществлении процесса изменения как внутренней своей структуры, так и внешней среды.

Исходя из этих рассуждений, можно обобщить понятие потенциала объекта произвольной природы и сформулировать его так: «Потенциал динамического объекта есть количественная мера уровня его развития, оцененная по совокупности показателей, описывающих его».

Естественно, в этом случае необходим формальный аппарат для аналитических способов измерения потенциала, то есть нахождение формул для его вычисления. В математике функция, которая позволяет находить значение потенциала, называется потенциальной функцией или потенциалом.

Различают три вида таких функций: объемный потенциал, потенциал простого слоя, потенциал двойного слоя. Для определения потенциала объекта нас будет интересовать объемный потенциал, который имеет следующий вид:

(5.1)

где Х — объект, потенциал которого нужно вычислить;

Х1, Х2, …, Хn — значения показателей системы, описывающей объект исследования;

y — эталонный объект или носитель потенциала;

y1, y2, … yn — значения показателей эталонного объекта;

G — множество, представляющее совокупность объектов данной природы. Эта функция имеет применение в непрерывном случае, а в дискретном интеграл изменится на сумму. Здесь ρ (y) — плотность потенциала или функция, зависящая только от значений показателей эталонного объекта. Геометрически — это линия, на которой расположены эталонные образы изучаемых объектов;

E (x, y) — функция, зависящая от расстояния |x — y| в различном смысле, не только евклидовом.

Сделаем попытку построения потенциальной функции, подобной (5.1), для измерения потенциала динамического объекта произвольной природы. Пусть объект исследования описывается системой показателей Х1, Х2, …, Хn. Проведя наблюдения в динамике за период [t1, tN], можно свести эти данные в информационный массив в виде матрицы «время — признак», элементами которой Xij являются значения j-го показателя в момент наблюдения ti.

Для построения потенциальной функции необходимо выбрать носитель потенциала или эталонный объект. Поскольку мы рассматриваем один объект в динамике, то следует определить эталонные значения показателей системы. Так как в качестве эталонных можно выбрать любые значения, с которыми сравниваются наблюдаемые значения показателей в динамике, то средние значения показателей вполне могут выступать в качестве эталонных.

Как уже отмечалось, потенциал объекта есть уровень его развития, поэтому для определения уровня следует построить некоторую ось с началом и направлением. Значение проекции состояния объекта в момент наблюдения ti будет представлять собой количественную меру уровня развития объекта. Такой осью может являться первая главная компонента, построенная по исходному массиву, которая имеет вид:

где

— среднее значение j-го признака;

σxj — среднее квадратическое отклонение j-го признака.

Потенциальная функция для вычисления потенциала объекта в момент времени ti будет выглядеть следующим образом:

(5.2)

Сравнивая (5.1) и (5.2), можно прийти к выводу, что они имеют одинаковую структуру. Действительно, ρ (y) = , где вектор
= и представляет собой направляющие косинусы первой главной компоненты с осями OXj афинной системы координат.

— представляет собой функцию отклонений фактических значений признаков от средних. Следовательно, в качестве эталонных значений показателей в данном случае выступают их средние значения. Исходя из геометрической интерпретации формулы (5.2), значение первой главной компоненты представляет собой значение проекции объекта в момент времени ti на первую главную компоненту.

С другой стороны, преимущество первой главной компоненты перед осями проекций, составленными другими способами, заключается в том, что первая главная компонента имеет наибольшую долю дисперсии по всему комплексу признаков Х и совпадает с наибольшей полуосью n-мерного эллипсоида, окаймляющего корреляционное облако, образованное исходными данными.

Переходя к исходному масштабу путем расстандартизации, как

первая главная компонента аналитически выразится:

а потенциальная функция будет иметь следующее представление:

(5.3)

Таким образом, используя формулу (5.3), легко рассчитать значения потенциала объекта в момент времени ti.

В то же время данная функция позволяет осуществить прогноз потенциала динамического объекта. С этой целью необходим предварительный прогноз развития объекта. Поскольку совокупность значений показателей Xj в определенный момент представляет собой n-мерную точку в афинном признаковом пространстве, то последовательность точек в различные моменты наблюдений будут описывать траекторию развития этого объекта. Аппроксимируя фактические данные методом наименьших квадратов зависимости от времени t, мы можем задать пространственную кривую, описывающую эволюционный процесс развития объекта в параметрической форме, как

(5.4)

и, подставляя Xj (t) в (5.3), имеем ось проекции (первую главную компоненту) в параметрической форме:

(5.5)

Придавая ti значение, принадлежащее периоду прогноза, наряду с прогнозом значений показателей, описывающих объект, сразу можно определить уровень его развития или потенциал.

Наряду с этой задачей, зачастую возникает обратная задача: как при известном уровне развития объекта исследования определить его структуру, то есть определить значения показателей, описывающих объект, соответствующий этому уровню развития. Эта задача является обратной задачей теории потенциала.

Данная задача решается довольно просто на основе формулы (5.5). Следует определить ti, соответствующее Zi, после чего, подставляя ti в параметрическую форму задания пространственной кривой, описывающей эволюционный процесс развития динамического объекта, вычисляются значения показателей Xj, соответствующие значению параметра ti.

Вместе с тем, параметрическое задание траектории развития объекта позволяет по значению одного какого-либо показателя определить значения других, а также его потенциала путем решения обратной задачи теории потенциала.

Пусть, например, известно значение показателя Xk, равное X0k, тогда, решая уравнение X0k = Xk (t), определяем значение параметра t. Подставляя затем найденное значение параметра t в формулы (5.4) и (5.5), определяем состояние изучаемого объекта, соответствующее известному значению одного показателя Xk и уровень развития этого объекта или его потенциала.

Как прямая, так и обратная задача теории потенциала, по нашему мнению, имеют большое значение в изучении эволюционных процессов развития динамических объектов.

Предлагаемая нами методика определения уровня развития динамического объекта или его потенциала, обусловливает необходимость в построении шкалы (по возможности универсальной), позволяющей упорядочить уровень развития объекта и наглядно оценить его по сравнению с каким-либо определенным уровнем, заданным априорно.

Исходя из традиционной оценки уровня развития динамического объекта, обычно для сравнения берется тот, который соответствует средним значениям показателей, описывающих многомерный объект, и называется средним уровнем развития.

Актуально определение уровня развития, соответствующего наибольшему, который предполагается достичь.

Пусть по некоторой совокупности показателей Х1, Х2, …, Хn осуществляется оценка уровня развития динамического объекта. Для построения шкалы определим наинизшую и наивысшую оценки потенциала.

Нами предлагается построение шкалы следующим способом. В качестве «нулевой точки» шкалы можно выбрать уровень, соответствующий средним значениям показателей X, то есть Проблема возникает в определении наивысшего уровня развития. Этот уровень соответствует тем значениям показателей, которые объект на данном этапе развития стремится достичь в перспективе. Эти значения показателей будем считать эталонными и обозначим через Эталонные значения показателей X можно определять исходя из содержательных соображений, или экспертным путем.

Допустим, эталонные значения показателей X определены. Возникает вопрос определения места на шкале уровня развития объекта, обладающего средним и эталонным значениями показателей, описывающих его. Можно предложить шкалу с началом отсчета «ноль», соответствующим уровню развития объекта, обладающего средними значениями показателей X, а в качестве отметки 100 — тот уровень, который соответствует эталонным значениям используемых показателей. В качестве оси, на которой будет строиться шкала, возьмем первую главную компоненту, поскольку именно она аккумулирует наибольшую долю дисперсии по всему комплексу показателей X. Значения первой главной компоненты, вычисленные по значениям показателей, соответствующих определенному моменту времени t, рассчитываются как проекции объекта в динамике на первую главную компоненту в момент времени t.

Формулой для нахождения проекции является:

(5.6)

В этом случае согласно формуле (5.6) потенциал объекта, обладающего средними значениями показателей X, будет равен нулю. Тогда объект, обладающий эталонными значениями показателей X, имеет потенциал, равный 100, то есть

где — вес стандартизованных значений признаков X.

Для определения уровня развития объекта на шкале из пропорции

находим

то есть для определения уровня развития объекта в масштабе предлагаемой шкалы, исходя из описанного подхода, выступает формула

Поскольку потенциал объекта определяется по значению первой главной компоненты, то, подставляя в первую главную компоненту значения Xj , выраженные в параметрической форме, получим

Тогда по шкале уровень развития будет соответствовать точке

Данная шкала позволяет наглядно проследить уровень развития динамического объекта.

Значение A (ti) представляет собой уровень развития объекта в момент времени ti, обладающий значениями показателей

Однако то обстоятельство, что в качестве начала отсчета берется состояние объекта, обладающего средними значениями показателей, вызывает определенное неудобство. С целью его устранения совершим параллельный перенос вектора на вектор, компоненты которого являются средними значениями признаков, в результате чего начало отсчета будет находиться в точке, координаты которой обладают нулевыми значениями показателей, описывающих объект.

Таким образом, формула для вычисления уровня развития примет вид

При этом уровень развития объекта в начале отсчета 0 (0, 0,…, 0), B(t)=0. Тогда объект, обладающий эталонными значениями показателей X, будет иметь потенциал, равный 100, то есть

Для определения уровня развития C (ti) объекта на шкале из пропорции

B* — 100

B (ti) — C (ti)

находим

то есть для определения уровня развития объекта в масштабе предлагаемой шкалы, исходя из описанного подхода, выступает формула

Данная шкала позволяет наглядно проследить уровень развития или потенциал многомерного динамического объекта, оцененного по комплексу показателей, описывающих его, который является интегральной оценкой состояния объекта в определенный момент времени.

В заключение следует отметить, что потенциал объекта, рассчитанный по комплексу признаков, позволяет оценить эффективность деятельности и выработать рычаги управления хозяйствующим субъектом с целью достижения эталонного состояния.

Более наглядно суть данной методики можно интерпретировать геометрически следующим образом (рис. 5.1):

 

Рис. 5.1. Геометрическая интерпретация интегральной оценки потенциала многомерного динамического объекта (системы)

Пусть состояние объекта в определенный момент времени в n-мерном пространстве отражается точкой А. Перпендикулярно проектируя данную точку на ось , получаем точку А’ и длина проекции ОА’ представляет собой отображение интегральной оценки потенциала многомерного динамического объекта или системы.