Системный анализ (стр. 7 )

5.2. Выявление катастроф в развитии системы

Надежность, достоверность прогноза в большой степени определяются выбором модели, описывающей исследуемый процесс. Особые трудности встречаются в тех случаях, когда возникают ступенчатые изменения функции, когда имеет место один или несколько разрывов непрерывности. Чаще всего — это периоды «скачков», революционных изменений хода какого-либо процесса. Именно они, именно их предвидение — самая интересная и самая трудная из подобного рода задач, которые возникают при прогнозировании.

Математический аппарат, словно специально созданный для использования в задачах прогнозирования сложных, революционно изменяющихся процессов и явлений, содержится в теории катастроф (так обычно называют теорию особенностей дифференциальных уравнений и тесно примыкающую к ней теорию бифуркаций). Этот термин был предложен Р. Томом и К. Зиманом для обозначения синтетической научной теории, включающей в себя как теорию особенностей (разработанную в основном Х. Уинти и Дж. Мазером), так и теорию бифуркаций, созданную на основе идей А. Пуанкаре.

Под катастрофой в названной теории понимается всякий случай, когда возникает резкая перемена в состоянии какой-либо системы, либо резкое нарушение непрерывности в течении какого-либо процесса. При таком понимании катастрофами можно назвать любые точки перегиба, экстремума, разрыва непрерывности для функций одной, двух и более переменных. Определив вид функции по ретроспективным данным, можно с высокой степенью надежности прогнозировать изменение функции за пределами исследуемого отрезка времени, в частности — прогнозировать возникновение особых точек (катастроф, бифуркаций) в будущем.

Наибольший интерес представляют случаи, когда число внутренних переменных — четыре (три измерения и время). В таких случаях, как показал Р. Том, независимо от числа внешних переменных возможны лишь семь типов скачков, семь элементарных катастроф. Семь поверхностей, служащих для их наглядного описания, носят устоявшиеся названия: морщина, складка (сборка), ласточкин хвост, бабочка, а также эллиптическая, гиперболическая и параболическая поверхности. При пяти внутренних переменных становятся возможными уже одиннадцать типов катастроф, при шести и более — бесконечно большое число катастроф. Таким образом, можно практически рекомендовать использование конкретного типа катастроф лишь при числе внутренних переменных прогнозируемого процесса, равном или менее четырех.

До сих пор наиболее результативным было приложение и исследование теории катастроф в так называемых «жестких» науках — физике, химии, сопротивлении материалов. Но уже в 70-х годах теория катастроф применялась в так называемых «мягких» науках — биологии, психологии, социологии. В связи с этим можно отметить, что теории особенностей и бифуркаций несомненно относятся к крупным достижениям современной математики.

В России функционирует школа математиков-специалистов по теории катастроф в МГУ (Москва), где теорию катастроф успешно развивает группа, возглавляемая академиком . Работы только этой группы за последние 20 лет составили заметную долю мировых научных разработок в области развития теории катастроф. Среди зарубежных ученых, занимающихся теорией катастроф, наиболее авторитетное место занимает профессор Р. Гилмор, в работах которого описывается множество примеров успешного приложения теории катастроф к задачам математики, физики, химии, инженерным дисциплинам.

Справедливости ради нужно считать, что в те же 70-е годы за рубежом появилось немало работ, например, в области психологии, которые дискредитировали теорию катастроф, используя ее не по назначению. Анализ многих конкретных моделей, построенных с помощью теории катастроф, особенно в области биологических, экологических и социологических наук, показал, что эти модели еще далеки от реальности и во многих случаях не конкурентоспособны по сравнению с моделями, построенными в этих науках специалистами без применения теории катастроф.

Однако это не снижает ценности других работ, выполненных с приложением теории особенностей и бифуркаций. Многочисленные работы позволяют надеяться, что теория катастроф займет должное место в математическом аппарате, используемом в прогнозировании. Важно подчеркнуть при этом, что теория катастроф предполагается не как замена существующих традиционных методов прогнозирования, а как новое направление в рамках прогностичного анализа. В то же время можно с уверенностью утверждать, что прикладная теория катастроф в сочетании с современными методами системного анализа станет полезным и эффективным средством качественного анализа различных реальных процессов, средством, пригодным также для получения количественных результатов.

Поскольку при исследовании процессов развития объектов приходится иметь дело с многомерным объектом, то применение методов классической теории катастроф весьма проблематично. В связи с этим нами предлагается модификация данной теории, основываясь на методах которой определяются особенности (катастрофы) в процессе развития объекта.

Для выявления этих особенностей в первую очередь нужно определить систему показателей, наиболее полно описывающую объект исследования. Пусть такая система состоит из показателей х1, х2,…,х n .

Наблюдение поведения объекта в динамике позволяет сформировать информационный массив, необходимый для изучения процесса его развития. Набор показателей х1, х2, …, хn называют фазовыми переменными. Наблюдаемые значения этих переменных сводятся в матрицу «время — признак», элементами которой являются значения j-го показателя в момент времени .

Геометрически состояние объекта исследования в момент ti представляется точкой в n-мерном признаковом пространстве, в качестве координатных осей которого выступают ОХ1, ОХ2, …, ОХn. Это признаковое пространство носит название фазового пространства. В динамике точки фазового пространства будут описывать некую траекторию развития объекта, которая называется фазовой траекторией.

При изучении процессов развития объекта часто возникают задачи по выявлению резких изменений в поведении объекта в течение периода исследования и в перспективе. Наиболее эффективным для этой цели является использование теории катастроф.

Катастрофами называются скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа объекта на плавные изменения внешних условий.

Резкие (катастрофические) изменения носят название особенностей. Как оказалось, встречаются особенности лишь двух видов: складки и сборки. Все другие особенности разрушаются при малых деформациях, в то время как особенности этих двух видов устойчивы и сохраняются при малых деформациях.

Примером особенности первого вида — складки — является особенность, возникающая при проектировании сферы на плоскость в точках экватора. При проектировании на какую-либо плоскость кривой траектории поведения объекта в окрестности локального экстремума, или точки перегиба относительно этой плоскости образуются сборки.

Таким образом, для выявления особенностей развития объекта следует спроектировать фазовую траекторию на какую-либо плоскость. В качестве таковой целесообразно выбрать одну из координатных плоскостей.

Но при этом возникает вопрос — какой из этих плоскостей отдать предпочтение? Одним из способов выбора можно предложить экспертную оценку в выделении из всей системы двух наиболее значимых показателей. Второй способ предполагает выделение двух показателей из системы по наибольшим весам в первой главной компоненте.

Точки проекции фазовой траектории на координатную плоскость XeOXk параллельно одной из координатных осей фактически будут описываться координатами (Xe, Xk), а информация об объекте по другим показателям остается по сути неиспользованной, что является, несомненно, большим недостатком данного подхода.

С другой стороны, n-мерное признаковое пространство представлено афинной системой координат и это затрудняет осуществление перпендикулярной проекции фазовой траектории на координатную плоскость, так как формулы проектирования точек на плоскость будут непросты, а неперпендикулярная проекция искажает картину спроектированной кривой.

Нами предлагается более совершенный метод выбора плоскости проекции. Для этого в первую очередь следует признаковое пространство, представленное афинной системой координат, описать декартовой прямоугольной. Как известно, для того, чтобы перейти к ортогональной системе координат, нужно применить один из методов факторного анализа — метод главных компонент. Этот метод позволяет по исходной информации, сведенной в матрицу «время — признак», по n-мерному афинному признаковому пространству построить n главных компонент, которые взаимно ортогональны и образуют декартову прямоугольную систему координат.

Формулами перехода от афинной системы координат к ортогональной служат линейные комбинации исходных признаков в главных компонентах, имеющих вид:

(5.7)

В этом случае в качестве координатной плоскости, на которую осуществляется перпендикулярная проекция фазовой траектории, выбирается плоскость Y1OY2, поскольку две первые главные компоненты аккумулируют наибольшую долю дисперсии исходных признаков.

Преимущества данного подхода заключаются в том, что здесь задействована информация по всем показателям системы и в то же время легко осуществляется перпендикулярная проекция на выбранную плоскость.

Для аналитического исследования процесса развития изучаемого объекта необходимо фазовую траекторию представить аналитически, то есть в виде функциональной зависимости, например, Xn = f (x1, x2, …, xn-1) зависимости n-го признака от остальных.

Но эта задача в большинстве своем неразрешима, а если и разрешима, то весьма трудоемка и результаты ее решения могут оказаться далекими от реальных.

В теории катастроф предлагается построение потенциальной поверхности, то есть такой поверхности, на которой располагается фазовая траектория, причем в аналитической форме. Но в этом случае, когда объект исследования описывается большим числом признаков, формула этой поверхности будет неимоверно громоздкой, трудно поддающейся анализу.

Нами предлагается осуществить задание фазовой траектории в параметрической форме, в зависимости от времени t следующим образом. Для каждого признака проводится аппроксимация с использованием метода наименьших квадратов зависимости Xj от параметра t. В результате фазовая траектория будет задана параметрически в виде

X1 = X1 (t), X2 = X2 (t), …, Xn = Xn (t).

Для выявления особенностей процесса нужно спроектировать фазовую траекторию на плоскость у10у2 ортогональной системы координат. Подставляя в главные компоненты (5.7) вместо х1, х2, …, хn их зависимости от t, то есть х1(t), x2(t), …, xn(t) и проводя тождественные преобразования, получим параметрическое задание фазовой траектории в ортогональном базисе в виде

у1 = у1(t), y2 = y2(t), …, yn = yn(t).

Как уже отмечалось, особенностями, обусловленными скачкообразным изменением в поведении процесса, возникающего в виде внезапного ответа на плавное изменение внешних условий, являются катастрофы сборки. Последние получаются при проектировании на координатную плоскость у10у2 фазовой траектории в окрестности точек экстремумов и перегиба относительно этой плоскости. Следовательно, нужно выявить локальные экстремумы и точки перегиба функции, заданной параметрически, относительно координатной плоскости у10у2 прямоугольной системы координат.

Будем исходить из предположения, что мы имеем зависимость

уn=yn(y1, y2, …, yn-1)

и нам необходимо найти экстремумы этой функции.

Построим касательную плоскость через точку (y10, y20, …, yn0) параллельно плоскости у10у2 и получим

В окрестности точки (у10, у20, …, уn0) это уравнение примет вид:

(5.8)

что представляет собой полный дифференциал функции

yn = yn (y1, y2, …, yn-1).

Поскольку мы находим экстремумы этой функции относительно координатной плоскости y1oy2, то значение yn = const, в связи с чем dyn = 0 и выражение (5.8) примет вид

(5.9)

Так как плоскость, проведенная через точку параллельна плоскости y1oy2, то dy1 ¹ 0, dy2 ¹ 0, а дифференциалы всех остальных аргументов yj обращаются в нуль. При этом уравнение (5.9) примет вид

Поскольку dy1 и dy2 отличны от нуля, то в нуль должны обращаться частные производные

а так как уj заданы параметрически, то применим правило дифференцирования функций, заданных параметрически

Но дробь обращается в нуль в том случае, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Следовательно, для нахождения экстремумов функции yn = yn (y1, y2, …, yn-1) достаточно исследовать на экстремум функцию yn = yn(t), то есть решить уравнение (yn)¢t = 0.

Решив это уравнение, мы определим те значения параметра, при которых функция yn = yn(t) имеет экстремумы. Подставляя значения параметра t в выражения xj=xj(t), получим точки экстремумов фазовой траектории (х10, х20, …, хn0), которые при проектировании образуют катастрофу сборки.

Следует отметить, что общность рассуждений не изменится, если в качестве плоскости проекции берется любая из координатных плоскостей. И действительно, возвращаясь к уравнению (5.9) и учитывая, что

а

его можно представить как

Проведя сокращения, получим

(уn)¢tdt+…+(yn)¢tdt = 0.

или

(n-1)(yn)¢tdt=0.

Поскольку n–1 ¹ 0 и dt ¹ 0, то (уn)¢t = 0.

Следовательно, отыскание точек экстремума функции
yn = yn (y1, y2, …, yn-1) не зависит от выбора координатной плоскости yк oye в качестве той, на которую осуществляется перпендикулярная проекция фазовой траектории. Из этого следует вывод, что определения «фазовых портретов» траектории на любую из координатных плоскостей сводятся к исследованию функции
yn = yn(t).

Наряду с экстремальными точками, определяющими катастрофы сборки, к такой же ситуации приводят и точки фазовой траектории, касательные плоскости в которых перпендикулярны плоскости проекции. Эти точки являются точками перегиба. В окрестностях точек перегиба плавное изменение исходных показателей вызывает резкий скачок. Чтобы определить координаты точек перегиба фазовой траектории, нужно исследовать на перегиб функцию yn = yn (y1, y2, …, yn-1), но поскольку путем замены переменных данная функция приводится к виду yn = yn(t), то эту функцию следует исследовать на перегиб. Как известно, для нахождения точек перегиба достаточно решить уравнение

или, что то же самое , то есть нужно найти вторую производную функции yn=yn(t), а затем приравнять ее нулю. Решая это уравнение, находим те значения параметра t, при которых наблюдается перегиб фазовой траектории относительно плоскости проекции. Подставляя в параметрическую форму записи фазовой траектории эти значения t, находим те значения показателей, в окрестности которых их малое изменение дает резкий скачок в поведении объекта.

Таким образом, используя модифицированные методы теории катастроф, мы можем выявить особенности (катастрофы) процессов развития объекта, возникшие в период исследования, и спрогнозировать их появление в перспективе.

В заключение следует отметить, что использование данного математического инструментария позволяет выявить такие виды катастроф, как бифуркация развития объекта, общий вид которой можно представить геометрически (рис. 5.2).

 

Рис. 5.2. Бифуркация фазовой траектории развития объекта

В качестве особых точек процесса или точек катастроф сборки выступают точки экстремумов и перегибов фазовой траектории.

5.3. Каноническая корреляция подсистем сложной системы

Зачастую система показателей, описывающая объект, состоит из нескольких блоков. При этом в анализе деятельности хозяйствующего субъекта приходится прибегать к оценке взаимосвязей между ними. Подобно тому, как множественная корреляция есть обобщение простой корреляции на случай, когда имеется несколько признаков Х, так и каноническая корреляция есть обобщение простой корреляции на случай, когда имеется несколько признаков Х и несколько признаков Y. Таким образом, каноническая корреляция — это корреляция между множеством показателей Х и множеством показателей Y.

Одной из задач канонической корреляции является определение соотношений между значениями показателей определенной пары блоков. Это обстоятельство позволяет решать вопросы управления процессом изменения значений признаков одного из блоков и имитировать процесс развития. Суть канонической корреляции заключается в следующем.

При изучении процесса развития объекта возникает необходимость описания этого объекта системой показателей. При этом система показателей может состоять из нескольких блоков. Допустим, система включает два блока (подсистем) показателей.

Пусть первая система показателей включает в себя признаки Х1, Х2, … Хp, а вторая — Y1, Y2, … Yq, причем. Наблюдения поведения объекта в динамике позволяют сформировать информационный массив в виде матрицы «время — признак», элементами которой являются значения j-го показателя в момент .

В процессе развития объекта исследования эти подсистемы показателей оказывают влияние друг на друга.

При решении задачи канонической корреляции определяются коэффициенты канонической корреляции и линейные комбинации признаков, описывающих объект исследования. Получено q канонических коэффициентов корреляции и соответственно столько же пар линейных комбинаций признаков Х и Y, описывающих объект исследования, где

Х = Х1, Х2, … Хp, Y1, Y2, … Yq,

то есть для К-го канонического коэффициента корреляции пара линейных комбинаций следующая:

(5.10)

или , , (5.11)

где , и — стандартизованные данные, полученные как

, , ,

где N — число номеров наблюдений исследуемого объекта.

Надо выбрать тот канонический коэффициент корреляции, а следовательно, и соответствующую ему пару линейных комбинаций Х* и У*, которые более адекватно описывают реальную ситуацию, то есть расчетные данные, полученные для всех моментов времени исследования с использованием формул (5.10), более всего близкие к фактическим. Этот вопрос позволяет решить нижеследующая теорема.

Теорема. Расчетные данные показателей, описывающих объект исследования, полученные с использованием линейных комбинаций, соответствующих большему каноническому коэффициенту корреляции, более адекватно описывают состояние исследуемого объекта.

Для доказательства теоремы представим линейные комбинации (5.10) и (5.11) одной строкой:

+

или

, (5.12)

где — матрица стандартизованных данных, полученных как

Примем

при

при .

Подставив в (5.12), получим для каждого элемента матрицы расчетные значения показателей

,

то есть получим расчетные данные показателей в стандартизованном виде, которыми обладает объект исследования в различные моменты наблюдений.

Приведем эти данные к исходному масштабу:

.

Осуществив тождественные преобразования, получим:

, (5.13)

что представляет собой элемент матрицы «время — признак», вычисленный для К-го канонического коэффициента корреляции с использованием формулы (5.12), то есть имеем значение j-го показателя в момент времени ti, соответствующее К-му каноническому коэффициенту корреляции.

Для оценки адекватности расчетных данных фактическим составим разность между фактическими и расчетными значениями каждого показателя по каждому моменту времени наблюдения ti:

.

Поскольку оценить адекватность по каждому элементу матрицы «время — признак» весьма затруднительно, а скорее всего, невозможно, то необходимо иметь такой показатель, который позволяет дать комплексную оценку адекватности расчетных данных фактическим, то есть показатель, характеризующий близость расчетных данных фактическим.

Допустим, этим показателем является D, имеющий следующую структуру:

.

Но, как известно, . Следовательно, необходимо несколько изменить структуру этого показателя, не нарушая требования. Чем ближе будут расчетные данные к фактическим, тем меньше будет показатель D. Тогда вместо можно взять выражение , и D будет иметь следующий вид:

D =.

Таким образом, чем меньшее значение будет принимать ∆, соответствующий тому или иному каноническому коэффициенту корреляции, тем ближе будут расчетные данные к фактическим. Эти расчетные данные более адекватно описывают состояние исследуемого объекта.

Следует определить, какой линейной комбинации, соответствующей тому или иному каноническому коэффициенту корреляции, следует отдать предпочтение в смысле близости расчетных и фактических данных.

Пусть из всех канонических коэффициентов корреляции выбираются любые два, тогда для них имеются две пары линейных комбинаций (5.11) или же пара типа (5.12). Следовательно, в рамках задачи воспользуемся показателями D. При этом показатель D, соответствующий большему каноническому коэффициенту корреляции, обозначим D1, а меньшему — D2.

Тогда

,

.

Для сравнения значений этого показателя составим разность:

—.

Вынося общий множитель за скобку, получим:

=.

Итак, .

Предположим, что <, тогда < 0.

В связи с этим < 0.

Но так как > 0, то

< 0

или

< 0,

тогда

, (5.14)

где и являются весами признаков в линейных комбинациях типа (5.12). Но

, (5.15)

. (5.16)

Значения и найдены для большего канонического коэффициента корреляции путем решения системы однородных уравнений (. Здесь — собственное число, I — единичная матрица, R — блочная матрица, составленная специальным образом из корреляционных матриц и , с большим собственным числом (корнем), которое равно квадрату канонического коэффициента корреляции. Число собственных корней, отличных от нуля, соответствующих первой линейной комбинации и второй типа (5.11), совпадают, и они попарно равны между собой. Следует отметить, что коэффициентами линейных комбинаций типа (5.10) (весами) служат компоненты собственных векторов корреляционной матрицы R, составленной из парных коэффициентов корреляции всех признаков системы , а дисперсии главных компонент равны собственным числам этой матрицы , удовлетворяющим уравнению степени К относительно λ. Некоторому значению λj соответствует собственный вектор , удовлетворяющий условию .

Справедливы следующие соотношения:

а) условие нормировки ;

б) условие ортогональности преобразования .

В связи с этим линейная комбинация признаков, найденная по большему собственному корню, имеет большую суммарную вариацию по всему комплексу признаков, задействованных в линейной комбинации. В свою очередь и , являющиеся весами признаков в линейных комбинациях, характеризуют вариацию признака либо признака . Тогда в качестве характеристики суммарной вариации линейной комбинации по всему комплексу признаков вполне может выступать такой показатель, как и .

Таким образом, линейная комбинация , найденная для большего канонического коэффициента корреляции, имеет большую суммарную вариацию по всему комплексу признаков Х, чем линейная комбинация , найденная для меньшего канонического коэффициента корреляции. Следовательно,

> (5.17)

Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что

> (5.18)

Складывая левые и правые части неравенств (5.17) и (5.18), получим

+>+. (5.19)

Учитывая (5.15) и (5.16), получим (5.14), то есть

> ,

которое получено в предположении, что >. Следовательно, можно сделать вывод, что если упорядочить канонические коэффициенты корреляции , то показатель ∆ будет иметь противоположную упорядоченность, то есть

.

Таким образом, расчетные данные показателей для каждого момента наблюдений более всего близки к фактическим при наибольшем каноническом коэффициенте корреляции, что и требовалось доказать.

Следовательно, зная пару линейных комбинаций, соответствующих максимальному каноническому коэффициенту корреляции

,

,

стандартизуя исходные данные по формулам

,

и подставляя в линейную комбинацию, получим расчетные показатели и в момент наблюдения . Они предопределяются взаимным влиянием друг на друга подсистем показателей X и У. Осуществив обратную операцию , , получим значения показателей в исходном масштабе, обусловленные взаимным влиянием этих подсистем друг на друга.