Системный анализ (стр. 16 )

Исходя из геометрической интерпретации данной формулы, значение первой главной компоненты представляет собой значение проекции объекта в момент времени ti на первую главную компоненту. С другой стороны, преимущество первой главной компоненты перед осями проекции, составленными другими способами, заключается в том, что она имеет наибольшую долю дисперсии по всему комплексу признаков X и совпадает с наибольшей полуосью n-мерного эллипсоида, окаймляющего корреляционное облако, образованное исходными данными.

Из вида формулы видно, что нулевой уровень развития соответствует такому состоянию объекта, когда он имеет значения признаков, равные их средним. Это затрудняет анализ поведения объекта в динамике. Для устранения этого недостатка осуществим параллельный перенос на вектор , и уровень развития будет рассчитываться по формуле

Тогда уровень развития будет равен нулю, если признаки принимают нулевые значения.

Возникает проблема определения наивысшего уровня развития. Пусть объект стремится достичь такого состояния в перспективе, которое называется эталонным x* = (x1*, x2*, …, xn*). Это эталонное состояние объекта будет соответствовать уровню развития, равному 100, т. е.

Чтобы определить уровень развития объекта в момент времени ti, нужно вычислить значение yi. Поскольку нами определена ось, на которой отмечается уровень развития объекта, необходимо еще ввести масштаб. Так как мы определили уровни развития, равные 0 и 100, то на этой шкале значение yi будет рассчитываться следующим образом:

из этой пропорции определим , как

или в развернутом виде

(6.1)

что соответствует значению потенциала на построенной шкале.

Данная шкала позволяет наглядно проследить уровень развития, или потенциал многомерного динамического объекта, оцененного по комплексу показателей, описывающих его, который является интегральной оценкой состояния объекта в определенный момент времени.

Таким образом, определив уровень развития объекта в дискретных точках, а затем, соединив их плавно, можно оценить устойчивость процесса его развития. Данный подход позволяет существенно снизить размерность признакового пространства и перейти от n-мерного к двумерному, где в качестве первой координаты выступает время t, а второй — уровень развития A (t).

Однако в решении задачи оценки устойчивости случайного процесса присутствует определение траектории развития изучаемого многомерного динамического объекта (фазовой траектории), которую необходимо представить в виде функции, адекватно аппроксимирующей процесс его поведения.

С этой целью предлагается методика, в основе которой лежит подход, опирающийся на теорию катастроф. Поскольку в исследовании случайных процессов приходится иметь дело с многомерным динамическим объектом, то применение методов классической теории катастроф весьма проблематично. В связи с этим предлагается модификация данной теории, основываясь на методах которой определяются особенности (катастрофы) в процессе развития объекта.

Геометрически состояние объекта исследования в момент времени ti представляется точкой в n-мерном признаковом пространстве, осями координат которого являются Оx1, Оx2, …, Оxn. Это признаковое пространство носит название фазового пространства. В динамике точки в фазовом пространстве будут описывать некую траекторию развития объекта, которая называется фазовой траекторией.

При исследовании процессов часто возникает задача выявления резких изменений в поведении объекта в течение периода исследования. Наиболее эффективным средством при этом является применение методов теории катастроф.

Катастрофами называются скачкообразные изменения процесса, возникающие в виде внезапного ответа на плавные изменения внешних условий. Резкие (катастрофические) изменения носят название особенностей.

Как оказывается, встречаются особенности лишь двух следующих видов: складки и сборки. Все другие особенности разрушаются при малых деформациях, эти же сохраняются. Примером особенности первого вида — складки — является особенность, возникающая при проектировании сферы на плоскость в точках экватора. Вторая особенность — сборка, получается при проектировании на какую-либо плоскость пространственной кривой траектории поведения объекта в окрестности локального экстремума или точки перегиба относительно этой плоскости.

Таким образом, для выявления особенностей развития объекта следует спроектировать фазовую траекторию на какую-либо плоскость. В качестве таковой целесообразно выбрать одну из координатных плоскостей. При этом возникает вопрос: какой из этих плоскостей отдать предпочтение?

Одним из способов выбора можно предложить экспертную оценку в выделении из всей системы двух наиболее значимых показателей.

Второй способ предполагает выделение двух показателей из системы по наибольшим весам в первой главной компоненте.

Точки проекции фазовой траектории на координатную плоскость xe Oxk параллельно одной из координатных осей фактически будут описываться лишь координатами (xe, xk), а информация об объекте по другим показателям остается по сути неиспользованной, что, несомненно, является большим недостатком данного подхода.

С другой стороны, n-мерное фазовое пространство представлено афинной (непрямоугольной) системой координат, поскольку существует корреляция между исходными показателями. Это затрудняет осуществление перпендикулярной проекции фазовой траектории на координатную плоскость, так как формулы проектирования будут достаточно сложны.

В связи с этим предлагается более совершенный метод выбора плоскости проекции. Для чего, в первую очередь, признаковое пространство, описанное афинной системой координат, необходимо перевести в декартовую прямоугольную систему координат. С этой целью применяется один из методов факторного анализа — метод главных компонент. Этот метод позволяет по исходной информации, сведенной в матрицу «время — признак» по n-мерному афинному признаковому пространству, построить n главных компонент, которые взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольную систему координат. Формулами перехода от афинной системы координат к прямоугольной (ортогональной) служат линейные комбинации исходных признаков в главных компонентах, которые имеют следующий вид:

В этом случае в качестве координатной плоскости, на которую осуществляется перпендикулярная проекция фазовой траектории, выбирается плоскость . Поскольку первые две главные компоненты аккумулируют наибольшую долю дисперсии исходных признаков.

Преимущества данного подхода заключаются в том, что здесь задействована информация по всем показателям системы, и в то же время легко осуществляется перпендикулярная проекция на выбранную плоскость. Для аналитического исследования изучаемого процесса необходимо фазовую траекторию представить аналитически в виде функциональной зависимости, например, , т. е. зависимости n-го признака от остальных. Но эта задача в большинстве своем неразрешима, а если и разрешима, то весьма трудоемка, и результаты ее решения могут быть далеки от действительности.

В теории катастроф предлагается построение потенциальной поверхности, т. е. той поверхности, на которой располагается фазовая траектория, причем в аналитической форме. Но в том случае, когда объект описывается большим числом признаков, формула этой поверхности будет очень громоздкой и трудно поддающейся анализу.

В связи с этим предлагается задание фазовой траектории осуществлять в параметрической форме в зависимости от времени t следующим образом. Для каждого признака осуществляется построение уравнения регрессии (нелинейной) с использованием метода наименьших квадратов зависимости xj от t. В результате чего фазовая траектория будет задана параметрически в виде

.

Для выявления особенностей процесса (складки и сборки), когда он меняет свое поведение, нужно спроектировать фазовую траекторию на координатную плоскость y1Oy2 прямоугольной системой координат. Подставляя в главные компоненты вместо их зависимости от и проведя тождественные преобразования, получим задание фазовой траектории в прямоугольной системе координат в виде

.

Как уже отмечалось, особенностями, обусловленными скачкообразными изменениями в поведении объекта в ответ на плавное изменение внешних условий, являются катастрофы сборки. Они получаются при проектировании на координатную плоскость у1Оу2 фазовой траектории в окрестностях точек локальных экстремумов и точек перегиба относительно этой плоскости. Следовательно, нужно выявить локальные экстремумы и точки перегиба функции, заданной параметрически относительно плоскости у1Оу2 в прямоугольной системе координат. Будем исходить из предложения, что фазовая траектория аналитически задается как

т. к. .

Опуская достаточно сложные аналитические исследования фазовой траектории на экстремум и перегиб, запишем формулы нахождения этих особенностей, которые сводятся к решению уравнений

— для точек экстремума,

— для точек перегиба.

Однако у1 имеет наибольшую долю дисперсии во всей информации, а следовательно, информативность первой главной компоненты самая большая. В связи с этим целесообразно исследовать функцию . Тогда или не существует для точек экстремума, а или не существует для точек перегиба.

По сути, проведя исследования с помощью дифференциального исчисления и построив кривую на плоскости , получаем так называемый фазовый портрет фазовой траектории .

Таким образом, фазовый портрет отражает траекторию развития объекта в ретроспективном периоде. Эта траектория наглядно будет свидетельствовать о наличии устойчивости или неустойчивости случайного процесса.

6.4. Стратегический системный анализ устойчивости

случайного процесса

Целью стратегического анализа является уяснение перспектив, создание информационной и теоретической базы для принятия управленческих решений относительно будущего развития. Стратегический анализ, в сущности, обращен в будущее, он в некотором смысле уже является анализом будущего, но по данным о прошлом. Естественно поставить задачу анализировать будущее не по прошлому, а по некоторым спрогнозированным показателям, т. е. осуществить стратегический анализ системы.

Согласно сложившимся представлениям стратегический анализ имеет целью нахождение в каждом процессе наиболее устойчивых закономерностей и тенденций, способных играть решающую роль в будущем, и прогнозирование на их основе процесса развития объекта в перспективе. Важнейшими задачами стратегического анализа является обоснование вариантов перспективного развития объекта, а также оценка ожидаемого их выполнения.

Прогноз есть некое вероятностное суждение относительно будущих состояний системы. Прогнозы необходимы для определения возможных целей и траекторий развития случайного процесса, обоснования основных направлений стратегии и тактики объекта исследования, а также для выявления резервов, принятия конкретных решений, изучения наиболее вероятных долгосрочных, среднесрочных и краткосрочных вариантов динамики и ситуаций, предвидения последствий принимаемых решений. Управление должно обеспечивать выбор оптимальных решений, учитывающих тенденции и способствующих достижению поставленных целей.

Любое управленческое решение, последствия которого должны проявляться в будущем, основывается на том или ином способе предвидения. Всякий раз, когда принимается решение относительно будущих действий, используются прежде всего предложения, ожидания, догадки, в лучшем случае — простейшие прогностические оценки. Поэтому прогнозирование можно считать одной из стадий управления, предшествующей другим его стадиям — определению целей, планированию, прогнозированию, проектированию, использующим в процессе принятия решений прогнозную информацию.

В исследовании случайных процессов важнейшее место занимают методы, позволяющие адекватно проанализировать и дать прогноз развития многомерного объекта. Многомерность объекта исследования существенно затрагивает решение поставленных задач.

В рамках системного прогнозирования развития объекта как системы утрачивают свою актуальность такие методы прогнозирования, как построение трендов, регрессионных моделей, прогнозирование на основе темпов роста и т. д. Индивидуальный прогноз каждого элемента системы искажает общую тенденцию в прогнозе развития объекта, хотя это зависит от надежностей используемых моделей. Кроме того, для динамично развивающихся процессов вряд ли целесообразно использование информации за продолжительную ретроспективу. Все это свидетельствует о том, что традиционные методы не дают должного эффекта. Следовательно, необходимо сочетание традиционных методов одномерного анализа с менее традиционными методами многомерного статистического анализа. При этом всевозможные методы многомерного анализа позволяют глубже и всестороннее исследовать тот или иной случайный процесс. Вместе с тем они не предполагают разделение системы на элементы, когда нарушается принцип эмерджентности, суть которого заключается в том, что все элементы взаимосвязаны и взаимообусловлены, а их искусственное разделение нарушает целостность системы и вызывает рост погрешности прогноза.

Из этого следует вывод, что необходимо в решении данной задачи применять методы многомерного прогнозирования. Одним из таких методов является метод многомерного прогнозирования цепями Маркова. В этом случае считается, что эволюция объекта исследования представляет собой Марковский процесс.

Марковский процесс — случайный процесс, состояние которого после любого заданного момента времени t0 не зависит от его эволюции за предшествующий период, а зависит только от состояния в момент времени t0.

Для моделирования Марковского процесса необходимо иметь матрицу перехода В (переходную матрицу). Элементы этой матрицы есть коэффициенты перехода, отражающие то явление, что объект, находящийся в момент времени t в состоянии i, к моменту времени перейдет в состояние j, причем переходная матрица постоянна во времени, если случайный процесс стационарный, каковым является Марковский процесс, то есть

.

В случае, если процесс развития многомерного объекта представляет собой Марковский процесс, то при известном состоянии объекта в момент времени t0 ретроспективного периода, которое представляется упорядоченным набором чисел

,

можно осуществить прогноз его состояния в момент периода прогноза

,

причем за один временной шаг следующим образом:

. (6.2)

Ключевым вопросом в моделировании Марковского процесса является расчет матрицы перехода B. В качестве методики расчета переходной матрицы В можно предложить следующую.

Пусть за два последних периода ретроспективы изучаемый объект имеет следующие значения своих показателей:

и переходная матрица в общем виде такова:

при этом

Опуская вывод, запишем лишь окончательную формулу расчета элементов переходной матрицы В. В частности, она имеет следующий вид:

(6.3)

Таким образом, для прогноза состояния объекта исследования необходимо сделать следующее преобразование:

Метод прогнозирования цепями Маркова предлагает инерционность развития случайного процесса. Однако зачастую результаты прогноза, согласно инерционному подходу, побуждают к необходимости управления этим процессом.

В зависимости от поставленной цели принимается та или иная модель управления, которая предполагает определенный метод решения задачи достижения цели. В качестве таковых можно использовать методы оптимального управления. Рабочей моделью при этом выступает матричное уравнение теории оптимального управления:

(6.4)

где — значения показателей, описывающих объект исследования в начале периода уравнения;

— эталонные значения показателей или вектор цели;

— значения управляющих параметров, необходимые для достижения показателями эталонных значений;

F — матрица перехода показателей X;

G — матрица перехода управляющих параметров U в показатели X.

Следует пояснить, что в качестве вектора цели выступает стратегическая цель объекта исследования. Следовательно, достижение этой цели лежит в основе выработки стратегии развития объекта.

Решение задачи оптимального уравнения случайным процессом в конечном счете сводится к нахождению оптимальной структуры управляющих параметров U. С этой целью, используя методы матричных преобразований, выразим из матричного уравнения (7.4) эталонные значения управляющих параметров U* следующим образом:

(6.5)

где Т — знак транспонирования.

Затем определяется доля каждого управляющего параметра во всем объеме фонда управления, как

(6.6)

при этом — оптимальная структура управляющих параметров.

Допустим, объем фонда управления равен К. Тогда поэлементно он распределяется следующим образом:

(6.7)

При данном объеме фонда управления и его структуре показатели, описывающие объект исследования, рассчитываются по формуле:

(6.8)

по сути — значения показателей, описывающих объект исследования, которые он может достичь, если оптимально распределить фонд управления случайным процессом.

Таким образом, формирование оптимальной структуры управляющих параметров, согласно вектору цели, представляет собой оптимальную стратегию объекта. Реализация этой стратегии позволит объекту достичь эталонного состояния X*, распределяя фонд управления случайным процессом за каждый временной шаг согласно оптимальной структуре.

6.5. Взаимосвязь категорий «риск» и

«устойчивость» случайного процесса

Категории «риск» и «устойчивость» случайного процесса тесно взаимосвязаны. Так, стремясь к устойчивому развитию объекта, мы тем самым снижаем уровень риска процесса, и наоборот.

При изучении рисков случайных процессов необходимо решить три основные задачи:

1.Дать определение риска случайного процесса.

2.Вывести формулу расчета уровня риска.

3.Разработать методы регулирования уровня риска.

В настоящее время в научной литературе по данной проблематике существует масса определений такой категории, как риск. Однако, используя термин «риск», исследователи, как правило, обходят стороной количественную характеристику этого явления. Есть основания предполагать, что существуют гносеологические корни самого понятия риска безотносительно к какому-либо конкретному процессу.

Нами предлагается построение теории рисков как формальной, основанной на теории вероятностей. Как известно, ключевой категорией теории вероятностей является случайное событие. Под событием понимается результат испытания, или совокупности действий. Событие, которое может произойти, а может и не произойти в результате совокупности действий, называется случайным. Мерой возможности появления случайного события служит вероятность данного события.

Наряду с этим событием, имеет место и событие, ему противоположное. Следовательно, если само событие является случайным, то и событие ему противоположное тоже является случайным, а значит, оно имеет вероятность своего появления в результате испытания. Так, если событие A имеет вероятность своего появления, равную , то вероятность появления противоположного события равна , при этом .

По сути, есть вероятность не наступления события A в результате испытания, или совокупности действий. Тогда q есть не что иное, как уровень риска не появления события A.

Поскольку вероятность появления случайного события, согласно свойствам, есть число, заключенное в отрезке от 0 до 1, то оно является случайным числом, а следовательно, и уровень риска является случайным числом.

Большую роль в изучении закономерностей развития случайного процесса играет его исследование в ретроспективном периоде. Учитывая выявленные закономерности, осуществляется самая важная часть исследования — прогноз развития случайного процесса. По существу делается прогноз результативного признака. Как известно, в качестве прогнозного выступления берется среднее ожидаемое значение результативного признака.

Среднее прогнозное значение представляет собой случайную величину. Из курса теории вероятностей известно, что по интегральной теории Лапласа вероятность принятия определенного конкретного значения непрерывной случайной величиной равна нулю. Следовательно, прогнозное значение результативного признака имеет интервальную оценку. В зависимости от уровня надежности (вероятности) строится так называемый доверительный интервал прогноза, и чем выше уровень надежности, тем шире границы доверительного интервала. Под доверительным интервалом, таким образом, будем понимать интервал, куда попадают ожидаемые значения результативного признака.

Уровень надежности P отражает тот факт, что с такой вероятностью ожидаемые значения результативного признака попадают в доверительный интервал . Тогда вероятность не попадания в данный интервал есть не что иное, как уровень риска изучаемого случайного процесса.

Обобщая изложенные выше рассуждения, можно сформулировать понятие риска любого случайного процесса.

Итак, риск случайного процесса есть возможность выхода значения результативного признака за рамки доверительного интервала прогноза.

Поскольку мерой риска является уровень риска, то уровень риска случайного процесса есть вероятность выхода значения результативного признака за рамки доверительного интервала прогноза.

Ключевыми словами в определении уровня риска являются: «случайный процесс» и «результативный признак». Следовательно, для определенного случайного процесса и результативный признак будет конкретным, присущим лишь этому процессу. Тогда, исследуя риск определенного случайного процесса, мы меняем в определении лишь ключевые слова, при этом точно определяя результативный признак.

Остановимся на методике определения уровня риска.

За основу расчета уровня риска берется формула:

(6.9)

где — начало прогнозного периода;

— момент времени, для которого осуществляется прогноз;

— доверительная погрешность прогноза результативного признака при уровне надежности p, которая определяется как

где y0 — прогнозное значение результативного признака;

ymin — минимально доступное значение результативного признака, которое можно принять, исходя из определенных соображений;

st — среднее квадратическое отклонение признака времени;

sy. t — остаточное среднее квадратическое отклонение, рассчитываемое по формуле

(6.10)

где — среднее квадратическое отклонение результативного признака;

r — коэффициент корреляции между признаками y и t;

tp(n) — табличное значение, зависящее от числа наблюдений n и уровня надежности (вероятности) p.

Таким образом, рассчитав прогнозное значение результативного признака y0 и определив его минимально допустимое значение, находим радиус доверительного интервала . Затем по наблюдениям, представленным в динамике за n отчетных периодов, вычисляются необходимые компоненты формулы (6.9). После чего рассчитывается значение . Используя соответствующую таблицу и количество наблюдений n, определяется значение p, т. е. вероятность попадания значения результативного признака в доверительный интервал прогноза. Тогда и есть уровень риска случайного процесса.

Очевидно, что всякий случайный процесс имеет степени свободы, используя которые, можно управлять этим процессом. Следовательно, для конкретного случайного процесса нужно выявить систему управляющих параметров, посредством которых процесс подвергается управлению.

Важнейшей задачей в принятии решений является регулирование рисков, а этого можно достичь путем решения задачи оптимального управления.

Пусть — управляющие параметры;

— значение результативного признака, которое нужно достичь в перспективе;

— прогнозное значение результативного признака;

G — матрица перехода управляющих параметров U в результативный признак y;

Uf — значения управляющих параметров, необходимые для достижения результативным признаком значения yf. Оптимальные значения управляющих параметров вычисляются по формуле

, (6.11)

где T — знак транспонирования.

Формула (6.11) позволяет определить оптимальную структуру управляющих параметров, как

(6.12)

где — оптимальная структура управляющих параметров. Согласно этой структуре распределяется фонд развития случайного процесса.

Имея фонд развития, равный K, и распределив его согласно оптимальной структуре, получим значения управляющих параметров , вычисленные по формуле

(6.13)

При этих значениях управляющих параметров значение результативного признака будет рассчитываться как:

(6.14)

Используя методику оптимального управления, можно регулировать риски. Допустим, прогнозное значение результативного признака равно y0, которое и представляет собой среднее ожидаемое значение этого признака.

Однако минимально допустимое значение результативного признака равно ymin. Тогда . Используя формулу (6.9), можно рассчитать по данному значению уровень надежности p, а следовательно, и уровень риска q. Тем не менее, решая задачу оптимального управления (11) и (14), при оптимальной структуре управляющих параметров удается достичь значения результативного признака , тогда , и при этом , а следовательно, и p1, рассчитанное по формуле (6.9), также будет больше, чем p. Тогда уровень риска q1 уменьшится по сравнению с q.

Таким образом, решая задачу оптимального управления случайным процессом, можно регулировать уровень риска в сторону его снижения.

Наряду с этим, имеет право на применение и такой подход, когда, задавая уровень риска случайного процесса, рассчитывается значение результативного признака yf, которое будет обеспечивать его.

Пусть уровень риска задан и равен q, тогда уровень надежности будет равен . Используя формулу (6.9), рассчитывается радиус доверительного интервала . Зная , определяется необходимое значение результативного признака , которое будет обеспечивать заданный уровень риска, как . Так как , то формула (6.11) преобразуется к виду

(6.15)

По ней вычисляются оптимальные значения управляющих параметров, а в сумме они представляют фонд развития случайного процесса, необходимый для достижения запланированного уровня риска. Проблема в этом случае состоит лишь в том, имеется ли в наличии такой объем фонда развития случайного процесса.

Таким образом, регулируя уровень риска, мы тем самым управляем устойчивостью случайного процесса. Следовательно, достигать устойчивость случайного процесса можно либо путем управления этим процессом, либо регулируя уровень риска в сторону его снижения.

В заключение следует отметить, что предлагаемая методология системного анализа устойчивости случайного процесса включает как управленческий, так и стратегический анализ устойчивости. При этом управленческий системный анализ дает возможность выявить закономерности в развитии исследуемого объекта, а стратегический системный анализ позволяет выработать стратегию развития объекта, преследующую устойчивость этого процесса. Вместе с тем и регулирование рисков дает возможность достигать устойчивости случайного процесса развития исследуемого объекта. Все эти меры нестационарный случайный процесс приближают к стационарному, а следовательно, и перспективы развития объекта становятся более предсказуемыми.