Системный анализ (стр. 24 )

Одним из них является метод пороговой оптимизации, суть которого заключается в достижении некоторого заданного (необязательно высшего или низшего) значения критерия качества функционирования объекта (системы). Например, при решении многокритериальных задач можно выбрать какую-то одну цель и по отношению к ней достичь строгого оптимума, а для других — ограничиться пороговой оптимизацией, то есть достичь определенного результата, равного заданному значению (или, что подсказывается характером задачи — «не большего» или «не меньшего» по сравнению с ним).

Наряду с этими применяются методы оптимального управления. Сущность оптимального управления состоит в том, что оно не только обеспечивает компенсацию возмущений, воздействующих на объект управления, но и стремится к нахождению наилучшей оптимальной траектории развития.

Главный результат теории — всемирно известный «принцип максимума» , сформулированный так: «Для многих управляемых систем может быть построен такой процесс регулирования, при котором само состояние системы в каждый данный момент подсказывает наилучший с точки зрения всего процесса способ действия».

Принцип максимума Понтрягина определяет математические условия, необходимые для того, чтобы управление оказалось оптимальным, причем без предварительного определения оптимальной траектории, а путем последовательного регулирования данного процесса.

Задачу выбора наиболее рациональных траекторий процесса развития сложных объектов достаточно эффективно можно решить с использованием методов оптимального управления. Можно предложить методику определения значений управляющих параметров, обеспечивающих достижение заданных значений показателей, описывающих объект исследования. Пусть развитие объекта определяется формулой

, (7.8)

и .

Матрицы F и G имеют размерности (n x n) и (n x m) соответственно.

F — матрица перехода показателей X;

G — матрица перехода управляющих параметров U в показатели X.

Задача состоит в определении наиболее рационального управления U=u(x,t), которое преобразовало бы объект из некоторого начального положения x(t0) в заданное x(tf), где tf — заданный момент окончания процесса управления u = u(x, t) и ограничения по переменным x и u в процессе движения, которое описывается следующим условием:

где Sf, A (t) — положительно-полуопределенные матрицы;

B (t) — положительно-определенная матрица;

Т — знак транспонирования.

Для получения и учета дополнительных ограничений на значения x(tf), x(t), u(t) необходимо выбрать соответствующие матрицы Sf, А(t), B(t), например, диагональные со следующими элементами, которые соответствуют :

(Sf)ii-1 — максимально допустимому значению величины

[Xi* (tf)]2;

Аii-1 — максимально допустимому значению величины (tf -t0) [Xi (t)]2;

Bii-1 — максимально допустимому значению величины

(tf - t0) [Ui (t)]2.

Используя обозначения максимально допустимых значений показателей со знаком «*», запишем данные матрицы:

,

,

.

На основе метода Лагранжа — Понтрягина определяется управление

где

,

откуда

U (tf) = – B-1 GTλ (tf),

а

λ(tf) = Sf *X (tf),

 

где которые заданы как граничные условия краевой задачи.

Тогда значения управляющих параметров U(tf), которые обеспечат достижение заданных значений показателей X(tf), рассчитываются следующим образом:

Таким образом, данная методика позволяет осуществить расчет управляющих параметров Ui (tf), (i = ), которые нужно иметь, чтобы достичь значений показателей Xi(tf), (i=), описывающих объект исследования.

Однако данная методика позволяет рассчитать минимальное время, за которое объект достигнет цели. В большинстве же экономических задач процесс развития объекта напрямую зависит от инвестиций, позволяющих эффективно развиваться хозяйствующему субъекту. Именно от объема инвестиций будет зависеть, как скоро исследуемый экономический объект достигнет цели.

В связи с этим, наряду с описанной выше, предлагается методика расчета значений управляющих параметров Uf для достижения значений показателей Xf.

С этой целью запишем условие (4.8) в следующем виде:

Xf = F*X0 + G*Uf , (7.9)

где Xf = X(tf), Uf = U(tf), X0 = X(t0).

Выразим из этого матричного уравнения вектор-столбец управляющих параметров Uf. Для этого представим Xf как I*Xf (I — единичная матрица) и перенесем F*X0 в левую часть уравнения

I*Xf — F*X0 = G*Uf . (7.10)

Левая часть матричного уравнения (7.10) по сути представляет собой вектор-столбец приращений DX, каждая компонента которого имеет вид

Xi (tf) — Xi (t0) = DXi.

Чтобы выразить Uf из этого уравнения, необходимо в правой части в качестве сомножителя Uf иметь квадратную невырожденную матрицу, в связи с чем умножим обе части уравнения (7.10) на матрицу GТ слева

GТ (I*Xf — F*X0) = GТ G*Uf. (7.11)

После чего умножим обе части уравнения слева на матрицу (GТ G)-1 и получим необходимое матричное уравнение для вычисления значений управляющих параметров Uf.

Uf = (GТ G)-1 GТ (I*Xf — F*X0). (7.12)

Однако для достижения определенных значений управляющих параметров необходимы денежные затраты. В связи с этим здесь предлагается концепция инвестиционной политики, направленная на определение оптимальных пропорций в распределении инвестиций для увеличения управляющих параметров.

Пусть U(t0)=() — значения управляющих параметров, которые динамический объект достиг в момент времени t0. Наряду с этим существуют значения этих параметров, которые объект хотел бы достичь в перспективе. Назовем их эталонными значениями и обозначим U*=().

Тем не менее все показатели системы имеют различные единицы измерения, что затрудняет их сравнение между собой, а также в численном выражении они достаточно сильно разнятся друг от друга. Для приведения их к единому масштабу можно осуществить преобразование путем приведения их к стоимостной форме как Zj = Pj Uj, где Pj — денежные затраты на воспроизводство единицы показателя Ui. Денежные затраты можно использовать в текущих или в сопоставимых ценах. При этом новые полученные показатели ставятся в равные условия.

Важным моментом в решении поставленной задачи является определение направления развития объекта исследования для достижения эталонных значений управляющих параметров , а, следовательно, и . В качестве такого направления выбирается вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания уровня развития объекта, оцениваемого по комплексу признаков U1, U2,…, Um, а следовательно, и Z1, Z2,…, Zm при стремлении к достижению эталонных значений показателей U*.

При данном подходе в качестве такого вектора выступает радиус-вектор Но компоненты этого вектора характеризуют вес того или иного показателя в структуре эталонного набора. Для решения этого вопроса необходимо получить единичный вектор (вектор единичной длины), соответствующий вектору

Используя метод аналитической геометрии, единичный вектор получаем так:

при этом выступают как направляющие косинусы вектора и осей, исходящих из точки 0 (фактически точка 0 есть точка с координатами (), то есть значения показателей U в базовом году периода управления), по направлению (OZ1, OZ1, …, OZm). Они геометрически интерпретируются как проекции единичного вектора на эти оси, что, в свою очередь, отражает вес того или иного показателя во всей системе в достижении их эталонных значений.

Осуществляя комплексный подход, изучаемый объект заинтересован в достижении максимального своего уровня, оцениваемого по комплексу управляющих параметров U. Этот интерес формально, при данных рассуждениях, можно выразить целевой функцией

В определенный момент времени объект может достичь эталонных наборов управляющих параметров либо не достичь их, при этом либо использовать полностью денежные ресурсы для достижения эталонных значений показателей либо недоиспользовать их.

Это обстоятельство позволяет формализовать данную ситуацию описанием ее задачей линейного программирования следующего вида:

В то же время достижение эталонных значений , а следовательно, сопряжено с денежными затратами. Индикаторами эффективности освоения ресурсов, в данном случае денежных, выступают, как известно, двойственные переменные. В связи с этим составим двойственную задачу, которая имеет вид

что экономически означает минимизацию затрат на освоение денежных ресурсов при достижении максимального значения функции f.

Используя теорему двойственности, когда в оптимальном решении fmax = Fmin, мы получаем следующую систему уравнений:

По этой теореме: если , то сомножитель, сопряженный с ним, равен нулю. В связи с этим yi = (отметим, что в данных взаимно двойственных задачах i = j, что не трудно заметить при их составлении). Следовательно, предельные оценки этих затрат на достижение значений показателей пропорциональны двойственным переменным αi.

Действительно, из формы целевой функции

и, учитывая, что в оптимальном решении F = f, можно записать

f =

Дифференцируя функцию f по переменной получим

а это означает, что при увеличении денежного ресурса на единицу значение функции f увеличится на величину yi, равно как и на величину αi. Таким образом, значения переменных yi, а следовательно αi, в оптимальном решении являются предельными затратами труда на освоение единицы денежных ресурсов при достижении объектом эталонных значений показателей . Следовательно, максимальное значение функции f выразится как

Объект в некоторый момент достиг определенного значения того или иного показателя, но отличается или равен эталонному. Обозначим через D Zj = — Zj, тогда = Zj+DZj. Исследуемому объекту целесообразно сократить величину DZj. В связи с этим возникает необходимость в определении D f, то есть приращения функции f. Приращение функции выразится следующим образом:

Таким образом, сокращение разрыва между фактическими и эталонными значениями исходных показателей приводит к уменьшению приращения функции D f. Но для уменьшения разрыва между наивысшим уровнем функции f и фактическим необходимы инвестиции, а они лимитированы, и объем инвестиционного фонда равен К.

Для решения задачи рационального использования инвестиционного фонда нужно обратиться к следующему подходу.

Весь инвестиционный фонд К распределяется между составляющими DZj, то есть DZj = K.

В то же время нужно распределить инвестиции так, чтобы остаться на градиенте . Это равносильно тому, чтобы распределение К проектировалось на прямую OZ*. Решая систему

DZ1 + DZ2 + … + DZm = K,

,

как пересечение плоскости с прямой, заданной в канонической форме, и учитывая, что DZj = Kj, получим

,

т. е. долю фонда К, идущего на воспроизводство DZj.

Таким образом, оптимальное распределение инвестиционного фонда К по составляющим можно выразить формулой Kj = γj K, или же

Итак, зная распределение инвестиционного фонда К по составляющим DZj, можно определить приросты значений управляющих параметров как

Подставив их в формулу (7.9), получим то состояние объекта в момент времени t, которое он может достичь сообразно своим возможностям.

В заключение следует отметить, что решения этих задач дают возможность выработать рациональную инвестиционную политику, позволяющую управлять процессом развития субъекта предпринимательства экономическими методами.

7.4. Имитационная модель хозяйствующего субъекта

В условиях рыночных отношений и тем более конкуренции возникает проблема нахождения эффективных методов управления. Одним из основных, на наш взгляд, является блок экономических методов управления субъектом предпринимательства.

Рассмотрим организацию деятельности субъекта предпринимательства в рамках экономических методов управления. В качестве модели управления возьмём решение краевой задачи следующего вида:

(7.13)

где — эталонные значения показателей деятельности субъекта предпринимательства;

— значения управляющих параметров, необходимые для достижения эталона .

В качестве таких управляющих параметров выступают инвестиции в основной и оборотный капиталы. При этом капитал берётся в следующей номенклатуре: активная часть основных фондов, состоящая из транспортных средств, механизмов и оборудования, а также оборотный капитал (оборотные средства), который включает в себя также инструменты и инвентарь.

F — переходная матрица признаков x размерности (n x n);

G — переходная матрица управляющих параметров U в признаки X размерности (n x m);

— показатели деятельности субъекта предпринимательства.

Решением краевой задачи (7.13) является определение эталонных значений управляющих параметров . В матричной форме это решение выглядит так:

(7.14)

где Т — знак транспонирования; I — единичная матрица порядка n.

Решение задачи (7.14) позволяет определить структуру инвестиционного фонда, идущего на воспроизводство управляющих параметров. В частности,

представляет собой долю инвестиционного фонда, идущего на вложение в j-й управляющий параметр.

Важнейшей задачей организации деятельности субъекта предпринимательства является формирование инвестиционного фонда. Как известно, он состоит из собственных и заёмных средств, то есть

D = b + Z,

где D — инвестиционный фонд; b — собственные средства; Z — заёмные средства.

Однако следует отметить, что заёмные средства являются лимитированными и зависят от возможности субъекта предпринимательства погасить кредит в определенный срок. Согласно нашим исследованиям максимально возможный объём займа вычисляется по формуле:

, (7.15)

где α — сумма платежей из прибыли;

d — рентабельность капитала или норма прибыли (отношение валовой прибыли к издержкам);

Е — ставка ссудного процента банка.

Определив объём займа, субъект предпринимательства формирует инвестиционный фонд D, который распределяется покомпонентно как

.

Тогда при данных возможностях инвестиций показатели деятельности субъекта предпринимательства можно рассчитать следующим образом:

,

по сути — прогноз показателей деятельности субъекта предпринимательства.

Зная объём инвестиционного фонда в первом периоде прогноза, согласно предложенной методике рассчитываются с учётом инвестиций:

k — основной капитал;

j — оборотный капитал;

L — численность работников.

Следует отметить, что численность работников также рассчитывается с учётом инвестиций следующим образом. По отчётным данным определяется объём активной части основных фондов в расчёте на одного работника, и с учётом прироста основных фондов определяется прирост численности работников, а затем и прогнозное значение численности работников в этом периоде прогноза.

На завершающем этапе рассчитывается прогноз суммы реализации по производственной функции:

,

где y — сумма реализации;

параметры, рассчитанные на основе отчётных данных с применением метода наименьших квадратов.

Данная модель является рекурентной, так как cпрогнозировав сумму реализации, определяется плановая прибыль и с учётом её — объём инвестиционного фонда. Процесс повторяется во втором периоде прогноза и так далее.

Следует отметить, что модель относится к имитационной в связи с тем, что пользователь может сымитировать эталонные значения показателей деятельности субъекта предпринимательства, а также объём займа для формирования инвестиционного фонда.

7.5. Ассортиментная политика торгового предприятия

В рамках решения данной проблемы можно предложить авторскую методику формирования ассортиментной политики торговой организации. Сформулируем постановку задачи выработки оптимальной ассортиментной политики.

Постановка задачи. Определить оптимальную структуру товарооборота так, чтобы она дала максимальную прибыль от реализации совокупности товаров.

Формализованное выражение данной задачи имеет следующий вид.

Пусть имеется n товаров, при этом за отчетный период известны объем продаж каждого товара и прибыль, полученная от реализации каждого товара:

Vj — объем продаж j-го товара в стоимостной форме;

Pj — прибыль, полученная от реализации j-го товара;

V — товарооборот.

Исходя из поставленной цели формализуется задача линейного программирования:

V1 +V2 +…+ Vn=V,

Vj³0, (j=),

,

где в качестве выступает рентабельность продаж j-го товара, то есть

Весь товарооборот V состоит из объема продаж товаров в стоимостной форме, то есть

В то же время нужно распределить продажи так, чтобы остаться на градиенте , соответствующем целевой функции Р задачи линейного программирования. Это равносильно тому, чтобы распределение V проектировалось на прямую .

Градиент лежит на прямой с координатами направляющего вектора

.

В канонической форме эта прямая имеет вид

Решим систему

как пересечение плоскости и прямой классическим способом. С этой целью выразим

,

отсюда

,

и подставим в первое уравнение системы

отсюда

тогда

отсюда

………………………….

то есть

Обозначим

,

тогда

Обобщая приведенные выкладки, можно сформулировать алгоритм решения задачи.

Для решения данной задачи предлагается следующий алгоритм:

1.  Определяется рентабельность продаж j-го товара

где — уровень рентабельности продаж j-го товара.

2.  Определяется оптимальная структура товарооборота

,

где — удельный вес продажи j-го товара в товарообороте.

3. Осуществляется прогноз товарооборота на перспективу — V*.

4. Распределяется товарооборот согласно оптимальной структуре.

5. Определяется прогнозная сумма прибыли от реализации j-го товара

,

где — объем продажи j-го товара согласно оптимальной структуре товарооборота;

— прогнозная величина прибыли от реализации j-го товара.

6. Рассчитывается прогнозная величина прибыли от реализации всех n товаров согласно оптимальной структуре товарооборота

где P* — прогнозная сумма прибыли.

7. Определяется уровень рентабельности торговой деятельности

,

где — уровень рентабельности продаж.

Следует отметить, что реализация ассортиментной политики даст серьезные положительные результаты при глубоком и грамотном маркетинговом исследовании.

Наряду с этим для нахождения оптимальной структуры товарооборота можно применить метод оптимального управления. Из всего многообразия структур товарооборота следует выбрать один — оптимальный. Суть данного метода заключается в том, что в первую очередь необходимо сформулировать цель, а точнее — вектор цели, согласно которому распределяются управляющие параметры. В данном случае в качестве управляющих параметров выступают суммы продаж товаров в ассортименте, поскольку уровень рентабельности торгового предприятия зависит от структуры товарооборота, и следовательно, нужно определить такую структуру, которая будет давать наилучший результат согласно выбранному вектору цели.

В качестве рабочей модели выступает матричное уравнение теории оптимального управления:

X* = F×X0 + G×U*,

где X0 = (X10, X20, ... , Хn0) — значения показателей, описывающих объект исследования в начале периода управления;

X* = (X1*, X2*, ... , Xn*) — эталонные значения показателей или вектор цели;

U* = (U1*, U2*, ... , Um*) — значения управляющих параметров, необходимых для достижения показателями эталонных значений;

F — матрица перехода показателей X;

G — матрица перехода управляющих параметров U в показатели X.

В качестве управляющих параметров, как уже отмечалось, выступают суммы продаж товаров в ассортименте.

Чтобы определить структуру товарооборота, необходимо предварительно найти эталонные значения сумм продаж U* путем решения матричного уравнения:

U* = (GTG)-1GT(X* - F×X0),

где Т — знак транспонирования.

Затем определяются доли сумм продаж каждой группы товаров в товарообороте следующим образом:

При этом g = (g1,g2, ... , gm) — оптимальная структура товарооборота.

Допустим, объем товарооборота, который ожидается в следующем году, равен К.

Тогда покомпонентно он будет распределен следующим образом:

Uj1=gjK.

При данном объеме товарооборота показатели деятельности торгового предприятия рассчитываются по формуле:

X1 = F×X0 + G×U1.

По сути X1 = (X11, X21, ... Xn1) — значения показателей результатов деятельности торгового предприятия, которые он может достичь, если оптимально распределить сумму продаж в ассортименте.

7.6. Имитационное моделирование

потребительского рынка

В условиях рыночных отношений актуальным вопросом является изучение поведения потребителей в удовлетворении потребностей в благах, что является в определенной мере стимулом для торговых организаций в наращивании товарных запасов.

Спрос на определенный товар, как известно, зависит от дохода покупателя и от цены на этот товар. Но вместе с тем на спрос влияют не только цена именно на этот товар, но и цены на другие товары, входящие в потребительскую корзину.

Пусть — спрос на товары или

= () — вектор спроса;

— цены на товары или = () — вектор цен на товары;

d — доход покупателя.

Пусть удалось построить функцию покупательского спроса на этот перечень товаров: а для товара функция покупательского спроса выразится так:

= или

=(

а для i-го товара функция покупательского спроса выразится так:

=, ().

Таким образом, функция спроса описывает соотношение между спросом на товары и ценами на них, а также доходами покупателей.

Свойство функции покупательского спроса

1. Функция покупательского спроса является однородной нулевой степени относительно вектора цен и дохода, то есть

.

Действительно, пропорциональное изменение цен и дохода не влияет на спрос, так как покупательная способность и реальный доход, а также соотношение цен остаются неизменными, меняется только масштаб цен.

2. Зависимость спроса от цены.

При возрастании цены на товар спрос на него, как правило, падает. Формально это можно отразить частной производной от функции покупательского спроса по переменной, то есть

< 0.

Но это свойство распространяется не на все товары. В частности есть товары, для которых увеличение цены на товар не влечет за собой уменьшение спроса на него. При этом спрос либо остается стабильным, либо увеличивается, то есть

³ 0.

Такие товары называются товарами Гиффина.

3. Зависимость спроса от дохода.

Товары называются малоценными, если при увеличении дохода спрос на них уменьшается, то есть

< 0.

Например, малокалорийные продукты питания, некачественные и немодные непродовольственные товары.

Товары называются ценными, если при увеличении дохода спрос на них возрастает, то есть