Общая теория статистики (стр. 24 )

, (8.27)

где s - фактическая сумма рангов;

- максимальная сумма рангов.

Этот коэффициент также изменяется в пределах - 1 < t < 1. Он дает несколько более строгую оценку связи нежели коэффициент Спирмена:

.

Это соотношение выполняется при большом числе наблюдений, п > 30, и слабых либо умеренно тесных связях. Для расчета т все единицы ранжируются по признаку х; по ряду другого признака у подсчитывается для каждого ранга число последующих рангов, превышающих данный (их сумму обозначим Р), и число последующих рангов ниже данного (их сумму обозначим Q).

Тогда S = Р - Q. Можно показать, что P+Q= - n(n-1), так что t может быть представлен как

(8.28)

Вычислим коэффициент корреляции рангов Кендалла по данным табл. 8.4:

Ранги по х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Ранги по у	1	3	5	4	7	9	10	8	2	13	12	11	6	14	16	15

отношение между этими двумя коэффициентами не вполне соответствует упомянутому: коэффициент Спирмена в нашем примере превосходит t не в 1,5 раза, а на 23%.

8.9. Параболическая корреляция

Линейные связи являются основными. Однако встречаются и нелинейные связи, хорошо описываемые параболой, гиперболой и т. д.

Уравнение регрессии в форме параболы 2-го порядка имеет следующий вид:

Если при линейной связи среднее изменение результативного признака на единицу фактора постоянно по всей области вариации фактора, то при параболической корреляции изменение признака х на единицу признака^ меняется равномерно с изменением величины фактора. В результате связь может даже поменять знак на противоположный, из прямой превратится в обратную, из обратной в прямую. Такой характер связи объективно присущ многим системам. Например, с увеличением дозы удобрений урожайность сель-хозкультур сначала повышается, но если превысить оптимальную величину дозы, то при дальнейшем росте дозы удобрений растения угнетаются и урожайность снижается.

Нормальные уравнения метода наименьших квадратов для параболы 2-го порядка таковы:

Если расчет производится не по индивидуальным данным, а на основе аналитической группировки, то уравнения МНК приобретают следующий вид:

Решая эту систему, получаем значения параметров а, b и с. Показателем тесноты параболической корреляции является корреляционное отношение, вычисляемое как корень квадратный из выражения (8.2).

В качестве примера параболической корреляционной связи рассмотрим зависимость себестоимости молока от продуктивности коров по данным аналитической группировки сельхозпредприятий области (табл. 8.5). В этой же таблице приведены расчетные величины, входящие в уравнения МНК для параболы.

Были получены нормальные уравнения МНК:

136а + 5256 + 2123,4с = 4585,1, 525а+2123.4А + 9017,1с = 17318,1, 2123,4а + 9017,16 + 40199,3с = 68586,4.

Эта парабола имеет точку минимума в фактической области вариации факторного признака. Для нахождения значения фактора, при котором достигается минимальное значение результативного признака, следует приравнять нулю первую производную по х уравнения (8.30):

откуда х = 23,641/4,6498 = 5,084 т молока на корову.

Итак, минимальная себестоимость молока в совокупности предприятий, в условиях периода, к моторому относятся данные, достигалась в среднем при надое молока на корову 5084 кг. Значение фактора х при достижении минимума себестоимости можно назвать оптимальной продуктивностью коров, а сама задача его поиска - это одна из оптимизационных задач, решаемая математико-статистическим методом.

Для измерения тесноты параболической корреляционной связи находим вариацию результативного признака у, объясняемую вариацией фактора х как сумму квадратов отклонений расчетных величин у от средней величины у, взвешенных на число предприятий. Общая сумма квадратов отклонений всех 136 значений у, от средней величины составляет 4624,7. Таким образом согласно формуле (8.1), корреляционное отношение

8.10. Гиперболическая корреляция

Уравнение регрессии в форме гиперболы имеет следующий вид:

Если величина Ъ положительна, то при увеличении значений факторного признака х значения результативного признака уменьшаются, причем это уменьшение все время замедляется, и при х -> оо средняя величина признака у будет равна а. Если же параметр Ь отрицателен, то значения результативного признака с ростом фактора возрастают, причем - их рост замедляется, и в пределе при х ® ¥ у̃ = а. Таким образом, гиперболические зависимости характерны для связей, в которых результативный признак не может варьировать неограниченно, его вариация имеет односторонний предел. Например, при освоении нового оборудования его производительность возрастет, но рост замедлится по мере приближения к конструктивно-технологическому пределу производственной мощности агрегата. Совершенствуя двигатель, можно увеличивать его КПД, но тоже не выше предела, допускаемого данным видом преобразования энергии. Таков же характер связи между уровнем душевого дохода х в семье и долей семей, имеющих телевизоры, у; он приближен к пределу (100%) в наиболее обеспеченной группе семей. Нормальные уравнения метода наименьших квадратов для гиперболы таковы:

Легко видеть, что эти уравнения, по существу, те же, что и для линейной связи. Линеаризация гиперболического уравнения достигается заменой 1/х на новую переменную, которую можно обозначить z. Тогда уравнение (8.27) примет вид ỹ = а + bz. Это и следует cделать, вычисляя гиперболу на компьютере, если программа для него не предусматривает автоматического вычисления гиперболических регрессий.

В качестве примера расчета уравнения гиперболической связи рассмотрим влияние среднесуточного прироста живой массы крупного рогатого скота на откорме на себестоимость прироста живой массы в совокупности предприятий области, занимавшихся откормом скота (табл. 8.6).

где х в сотнях граммов

Таблиц а 8.6

Гиперболическая связь себестоимости прироста со

скоростью прироста массы скота

Группы предприятий по среднесуточному приросту массы граммов на 1 голову хi	Число предприятий fj	Средняя себестоимость прироста руб./ц y̅j	Середина интервалов x'j сотнях граммов на голову
334-425	22	496	3,8	5,79	1,52	10912	2872	513
425-516	37	425	4,7	7,87	1,67	15725	3346	419
516-607	28	360	5,6	. 5,00	0,89	10080	1800	356
607-698	27	310	6,5	4,15	0,64	8370	1288	310
698-789	9	283	7,4	1,22	0,16	2547	344	275
Итого	123	387	-	24,03	4,88	47634	9650	-

Точечный прогноз по уравнению регрессии при среднесуточном приросте массы животных, равном 900 г, уже достигнутом передовыми хозяйствами, приводит к ожидаемой средней себес-

Следовательно, 67% вариации себестоимости прироста массы скота объяснились вариацией скорости роста массы животных и связанных с ней других факторов, например, чем быстрее растет масса, тем меньше расход кормов на единицу прироста массы.

8.11. Множественное уравнение регрессии

Проблемы множественного корреляционно-регрессионного анализа и моделирования подробно изучаются в специальном курсе того же названия. В курсе «Общая теория статистики» рассматриваются только самые общие вопросы этой сложной проблемы и дается начальное представление о методике построения уравнения множественной регрессии и показателей связи. Рассмотрим линейную форму многофакторных связей не только как наиболее простую, но и как форму, предусмотренную пакетами прикладных программ для ПЭВМ. Если же связь отдельного фактора с результативным признаком не является линейной, то производят линеаризацию уравнения путем замены или преобразования величины факторного признака.

Общий вид многофакторного уравнения регрессии имеет вид:

где k - число факторных признаков.

Чтобы упростить систему уравнений МНК, необходимую для вычисления параметров уравнения (8.32), обычно вводят величины отклонений индивидуальных значений всех признаков от средних величин этих признаков.

Получаем систему k уравнений МНК:

Решая эту систему, получаем значения коэффициентов условно-чистой регрессии b. Свободный член уравнения вычисляется по формуле

Термин «коэффициент условно-чистой регресии» означает, что каждая из величин bj измеряет среднее по совокупности отклонение результативного признака от его средней величины при отклонении данного фактора хj от своей средней величины на единицу его измерения и при условии, что все прочие факторы, входящие в уравнение регрессии, закреплены на средних значениях, не изменяются, не варьируют.

Таким образом, в отличие от коэффициента парной регрессии коэффициент условно-чистой регрессии измеряет влияние фактора, абстрагируясь от связи вариации этого фактора с вариацией остальных факторов. Если было бы возможным включить в уравнение регрессии все факторы, влияющие на вариацию результативного признака, то величины bj. можно было бы считать мерами чистого влияния факторов. Но так как реально невозможно включить все факторы в уравнение, то коэффициенты bj. не свободны от примеси влияния факторов, не входящих в уравнение.

Включить все факторы в уравнение регрессии невозможно по одной из трех причин или сразу по ним всем, так как: 1) часть факторов может быть неизвестна современной науке, познание любого процесса всегда неполное; 2) по части известных теоретических факторов нет информации либо таковая ненадежна; 3) численность изучаемой совокупности (выборки) ограничена, что позволяет включить в уравнение регрессии ограниченное число факторов.

Коэффициенты условно-чистой регрессии bj. являются именованными числами, выраженными в разных единицах измерения, и поэтому несравнимы друг с другом. Для преобразования их в сравнимые относительные показатели применяется то же преобразование, что и для получения коэффициента парной корреляции. Полученную величину называют стандартизованным коэффициентом регрессии или β-коэффициентом.

β-коэффициент при факторе хj, определяет меру влияния вариации фактора хj на вариацию результативного признака у при отвлечении от сопутствующей вариации других факторов, входящих в уравнение регрессии.

Коэффициенты условно-чистой регрессии полезно выразить в виде относительных сравнимых показателей связи, коэффициентов эластичности:

Коэффициент эластичности фактора хj говорит о том, что при отклонении величины данного фактора от его средней величины на 1% и при отвлечении от сопутствующего отклонения других факторов, входящих в уравнение, результативный признак отклонится от своего среднего значения на ej процентов от у̅. Чаще интерпретируют и применяют коэффициенты эластичности в терминах динамики: при увеличении фактора х.на 1% его средней величины результативный признак увеличится на е. процентов его средней величины.

Рассмотрим расчет и интерпретацию уравнения многофакторной регрессии на примере тех же 16 хозяйств (табл. 8.1). Результативный признак - уровень валового дохода и три фактора, влияющих на него, представлены в табл. 8.7.

Напомним еще раз, что для получения надежных и достаточно точных показателей корреляционной связи необходима более многочисленная совокупность.

Таблица 8.7

Уровень валового дохода и его факторы

Номера хозяйств	Валовой доход, руб./ra у	Затраты труда, чел.-дни/га х1	Доля пашни, % x2	Надой молока на 1 корову, кг, x3
1	704	265	45,1	. 3422
2	293	193	35,1	1956
3	346	229	69,4	2733
4	420	193	60,2	3254
5	691	225	59,0	3323
6	679	255	63,4	3179
7	457	201	58,1	3073
8	503	208	51,8	3257
9	314	170	73,2	2669
10	803	276	59,0	4235
11	691	188	42,5	3790
12	775	232	50,5	3658
13	584	173	48,6	3801
14	504	183	51,9	3266
15	777	236	58,9	5173
16	1138	265	38,8	5526
Сумма	9679	3492	865,5	56315
Средняя	604,9	218,2	54,1	3520
s	221,9	34,6	10,6	887
v,%	36,7	15,9	19,6	25,2

Таблица 8.8 Показатели уравнения регрессии