Общая теория статистики (стр. 31 )

Среднее значение веса

Взвешенный средний индекс цен

Результат совпадает с простой средней. Между тем вариация весов значительна, стандартное отклонение

Коэффициент вариации весов

, т. е. 57%.

Б. Неравенство взвешенной и простой средних при слабой вариации весов.

В табл. 10.2 представлены данные примера Б.

Таблица 10.2

№ товара	Цены	Индекс ip	Доля, в базисной выручке d0	ip· d0	Вариация долей
Р0	Р1	(dj0 – d0)	(dj0 – d0)2
1	10	11	1,1	0,15	0,165	-0,05	0,0025
2	15	30	2,0	0,26	0,520	0,06	0.0036
3	20	28	1,4	0,19	0,266	-0,01	0,0001
.4	25	40	1,6	0,25	0,400	0,05	0,0025
5	30	27	0,9	0,15	0,135	-0,05	0,0025
Итого	X	X	1,4	1,00	1,486	0	0,0112

невзвешенный средний индекс цен:

взвешенный средний индекс цен ;

вариация весов

vd = 0,2366 или 23,7%, т. е. вариация весов намного слабее, чем в примере А.

Рассмотрим, в чем секрет таких соотношений? Обратимся к формуле взвешенной средней:

где x̅, f̅ - простые средние;

Dх, Df - отклонения от них.

Представим последнее выражение как:

Числитель второго слагаемого можно представить через коэффициент корреляции между х и f:

(10.3)

Эта формула аналогична формуле (5.6). Следовательно, средняя взвешенная равна простой средней, если:

• вариация признака х, отсутствует, т. е. sx = 0;

• вариация - весов fi отсутствует, т. е. vf = 0;

• нет корреляции между вариациями признака и весов, т. е. rxf = 0 (хотя бы сами х, и f, варьировали как угодно сильно).

Отношение взвешенной средней и простой можно выразить следующим образом:

(10.4)

Поскольку различие взвешенной и простой средних зависит от корреляции значений признака и веса, постольку оно может оказаться большим при слабой вариации весов, чем при их сильной вариации (см. главу 5).

Рассмотрим соотношения между индексами (10.1) и (10.2) на примере табл. 10.3.

Таблица 10.3

Данные розничной торговли города N

	Выручка в мае	Отноше ние цен в июне к ценам в мае, % ip = p1:p0	Выручка с учетом изменения цен, млн руб. q0p1=q0p0ip
абс. млн. руб.	относит.
q0p0	d0
1	2	3	4	5
Мясо и мясопродукты	2352,0	0,271	110,5	2599,0
Рыба и рыбопродукты	735,0	0,085	112,2	824,7
Масло животное	2058,0	0,237	103,2	2123,8
Масло растительное	9,8	0,001	105,6	10,4
Молоко и молочные продукты	882,0	0,102	102,4	903,2
Сахар Итого	2644,0 8680,8	0,304 1,000	107,3 641,2*	2837,0 9298.1
* Обычно ip не суммируются

Обратите внимание на данные гр. 5 табл. 10.3: произведение q0p0ip имеет не просто техническое значение взвешивания индивидуального индекса, но дает определенный содержательный результат - показатель условных затрат на покупку с учетом изменения цен q0 · p0 · ip = q0 · p1

Это дает право представить формулу (10.2) в виде:

(10.5)

Выражение (10.5) получило известность как индекс Ласпейреса, предложившего эту формулу в 1864 г. По данным табл. 10.3

т. е. цены возросли в среднем на 7,1%. Если воспользоваться формулой (10.1), то Ip = 641,2/6 = 1,069 • 100 = 106,9%, т. е. в среднем цены возросли на 6,9%. Отличие от среднего взвешенного арифметического индекса составляет 0,2%.

Мы рассмотрели определение среднего изменения на основе средней арифметической из индивидуальных, но ведь могут использоваться и другие виды средних: средняя геометрическая, средняя гармоническая и т. д. - невзвешенные и взвешенные. Используя среднюю геометрическую невзвешенную, получаем:

Средняя гармоническая всегда дает результат, меньший средней арифметической. Применяя среднюю гармоническую невзвешенную, получаем:

Опять-таки деление единицы на каждый индекс предполагает равное значение изменения цен на товары, что не соответствует практике.

Используя в качестве весов затраты на покупку в отчетном периоде, получаем сводный индекс цен как средний гармонический взвешенный из Индивидуальных индексов цен:

(10.6)

В формуле (10.6) и далее для простоты мы опустили подстрочный значок, соответствующий номеру товара (элемента), хотя, конечно же, суммирование и в числителе, и в знаменателе производится по всему набору товаров (элементов).

Рассчитаем этот индекс по данным табл. 10.3. Кроме того, нам потребуются дополнительные данные. Как всегда, лучшей формой представления цифровых данных является таблица. Представим все необходимые данные в табл. 10.4, используя вместо названий номера продуктов.

Таблица 10.4

Данные розничной торговли города

№ п/п	Относительное изменение количества купленных продуктов в июне по сравнению с маем, % ip =q1 : q0	Выручка в июне, млн руб. q1·p1	Условная выручка без учета изменения цен, млн руб., q1·p0 = q1·p1 : ip
1	98,5	2560,0 .	2316,7
2	100,3	827,2	737,3
3	97,8	2077,1	2012,7
4	102,0	10,6	10,0
5	100,0	903,2	882,0
6	98.0	2780,3	2591,1
Итого	596,6*	9158,4	8549,8
* Обычно iq не суммируется.

Результат совпал с тем значением / , которое было получено по формуле (10.2). Но это случайное совпадение, которое оказалось возможным из-за слабой корреляции между изменением уровня цен и объема продаж отдельных товаров. Это может быть при сравнении за короткий период. В рыночной экономике взаимосвязь между колебаниями цен и объема продаж проявляется при сравнении за более длительный период. Ниже будет показано, как измерить величину этой корреляции (см. формулу (10.17).

Знаменатель формулы (10.6) имеет смысл затрат на покупку «отчетного» количества товаров по базисным ценам:

Тогда формула (10.6) может быть представлена как

(10.7)

Эта формула индекса цен была предложена Пааше в 1874 г. Различие между индексами Пааше и Ласпейреса, их использование обсуждаются ниже в данной главе.

Итак, мы рассмотрели применение разных форм и видов средних величин для определения среднего изменения цен по всем товарам. Люди всегда в первую очередь интересовались ценами и их изменениями. Но такой же подход может быть применен к оценке сводных изменений других характеристик, например объема (количества) покупок товаров. Кстати заметим, что используемые нами обозначения цен (р), количества (q) неслучайны и соответствуют начальным буквам английских слов price (цена) и quantity (количество). Это закрепленные обозначения в статистике.

Таким образом, общее изменение количества проданных товаров формируется как среднее по отношению к изменениям объема покупок отдельных товаров, т. е.

, где

Возникает вопрос о порядке расчета средней из iq: средняя арифметическая - простая или взвешенная - или другая форма средней. Ограничимся рассмотрением только средней арифметической.

По данным табл. 10.4 простая средняя арифметическая из индивидуальных индексов количества равна:

= 0,994·100% = 99,4%(- 0,6%).

Используя в качестве весов для изменений объема покупок удельный вес покупок в общей сумме затрат, получаем:

(10.8)

т. е. индекс Iq - средний арифметический взвешенный из индивидуальных iq.

По данным нашего примера (табл. 10.3 и 10.4) общий индекс количества равен:

Получилось, что объем покупок продовольственных товаров сократился в среднем на 1,5%. Это более значительная оценка снижения, нежели полученная при расчетах по простой средней арифметической (- 0,6%). Так что мы еще раз получили подтверждение зависимости результата от использованной формулы.

Зная среднюю величину изменения показателя и индивидуальные индексы, можно проводить анализ методами вариационной статистики: анализировать распределение товаров по изменению цен, объема покупок, сравнивать модальное и среднее изменение, максимальное и минимальное; по показателям эксцесса распределений делать выводы о том, насколько однородны изменения цен и количества по отдельным товарам, группировать товары по уровню цен и степени их изменения и т. д.

10.3. Агрегатные индексы. Система индексов

Мы познакомились с построением сводных индексов на основе индивидуальных. Однако возможен и другой путь. Обратимся к формулам индексов Ласпейреса (10.5) и Пааше (10.7). Эти индексы могут быть рассчитаны на основе данных о количестве проданных товаров в базисном и отчетном периоде (по каждому j-му товару) q0j и q1j и ценах – р1j и р0j. Такие индексы принято называть агрегатными. Так же можно построить и Iq не через осреднение индивидуальных индексов, а на основе сравнения двух сумм (агрегатов), см. (10.7).

Агрегатные индексы считаются основной формой индексов. Они выполняют две функции: синтетическую и аналитическую. Первая функция обеспечивается тем, что в одном индексе обобщаются (синтезируются) непосредственно несоизмеримые явления. Например, цены на разные товары или разные товары, абсолютно не сопоставимые между собой в натуральном выражении. Когда мы записываем

,

то благодаря использованию ценового соизмерителя можно агрегировать данные по различным товарам.

Вторая функция - аналитическая - следует из взаимосвязи индексов. Дело в том, что практически каждый индекс можно рассматривать как составляющую некоей системы индексов, в которой его роль сводится к измерению одного из факторов общего изменения сложного явления и вклада этого фактора в совокупное изменение. Так, например, индекс цен можно рассматривать как показатель влияния изменения цен на выручку от продажи. Такая трактовка опирается на следующую связь признаков:

количество ´ цена = выручка (или затраты на покупку), т. е.

qp = w. (10.9)

Системе признаков соответствует система индексов (т. е. показателей их изменений). Исходя из этого можно записать:

(10.10)

Обратите внимание: эта запись соответствует трактовке индекса как метода анализа. Когда мы указываем Iw(q) или Iw(p) то имеем в виду измерение общего изменения результативного явления (в данном случае w) за счет одного из факторов (q или р). Конечно, можно ограничиться записью Iq и ip - ничего не изменится по существу.

При построении агрегатных индексов удобно пользоваться такими понятиями, как «индексируемый признак» и «признак-вес». Индексируемый - это признак, изменение которого характеризует данный индекс. Например, в Iq - это q, в ip – это p. Значение индексируемого признака изменяется: отчетное значение сопоставляется с базисным.

Признак-вес выполняет функцию веса по отношению к индексируемому признаку; его значение в данном индексе принимается неизменным, так как он не должен искажать оценку изменения индексируемого признака. В Iq признаком-весом является р, а в Ip - q.

Индексируемый признак можно назвать фактором изменения общего результата, а признак-вес - характеристикой условий, в которых оценивается это изменение.

Если индексы рассматриваются в системе, то должна обеспечиваться взаимосвязь между ними. Например, в соответствии с (10.9) должно выполняться равенство

(10.11)

Обратимся к формулам (10.11). Каждый из индексов показывает, как изменился тот или иной фактор при неизменности прочих условий: и в формуле индекса Iq и в формуле Ip веса закреплены на базисном уровне. Это обеспечивает сопоставимость оценок изменений факторов. Однако равенство (10.11) не обеспечивается или, как говорят иначе, не обеспечивается увязка индексов в систему:

То же происходит, если все индексы будут построены с отчетными весами:

Только когда взаимосвязанные индексы строятся с весами разных периодов, увязка их в систему выполняется:

(10.12)

или

(10.13)

Из этих двух вариантов отечественная статистика долгое время отдавала предпочтение второму. Соответственно существовало правило определения периода весов: индексы первичных признаков строятся на весах базисного периода, вторичных - на весах отчетного периода. Это правило признавало неравное значение признаков в системе: первичный признак выступает как основа формирования нового (отчетного) значения результативного признака w1. Этим объясняется то, что индекс первичного признака (например, Ip) оценивает изменение этого признака при сохранении базисных условий, тогда как изменение вторичного признака оценивается уже в изменившихся условиях, когда первичный признак принял значение отчетного периода.

Рассмотрим на примере, как влияет использование разных значений признака-веса на величину индекса (табл. 10.5).

Таблица 10.5

Данные о продаже продуктов на городском рынке за месяц