Введение. Множества. Действия над множествами.

Тема 1. Определители. Свойства определителей. Перестановки и подстановки. Матрица. Определитель квадратной матрицы. Основные свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.

Тема 2. Матрицы. Решения матричных уравнений. Матрицы. Обратимые матрицы. Вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений. Прямоугольные матрицы.

Тема 3. Арифметическое пространство. Ранг и базис системы векторов. Арифметическое n-мерное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Эквивалентность системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов.

Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Элементарные преобразования матрицы, неизменяемость ранга матрицы при элементарных преобразованиях.

Тема 4. Метод Гаусса, правило Крамера, метод обратных матриц для решения систем линейных уравнений. Система линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Критерий совместимости системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Понятие общего решения системы линейных уравнений.

Система однородных линейных уравнений.

Система линейных уравнений в матричной форме. Правило Крамера решения системы n линейных уравнений с n переменными.

Тема 5. Алгебраические системы. Алгебраические операции. Группоид. Полугруппа. Определения, аксиомы. Примеры. Простейшие свойства групп. Подгруппа. Кольцо. Определение, аксиомы кольца. Простейшие свойства кольца. Подкольцо. Поле. Определение, аксиомы поля. Простейшие свойства полей. Подполе. Признаки подгрупп, подколец, подполей. Понятие алгебраической системы как множества с операциями и отношениями. Изоморфизм алгебраических систем.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Тема 6. Поле комплексных чисел. Построение поля комплексных чисел. Поле комплексных чисел как расширение поля действительных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах, геометрическая интерпретация этих операций.

Тема 7. Линейные (векторные) пространства

Определение линейного пространства. Основные свойства линейных пространств.

Евклидово пространство. Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональная система векторов. Существование ортогонального базиса и ортонормированного базиса евклидова пространства. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой размерности.

Тема 8. Векторы и действия над ними. Скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Система декартовых координат. Координаты вектора и точки. Проекция вектора на ось.

Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе. Длина вектора. Угол между векторами. Условие ортогональности векторов.

Векторное произведение и его свойства. Выражение векторного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе. Условие коллинеарности векторов.

Смешанное произведение векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе. Условие компланарности векторов.

Тема 9. Уравнения прямой на плоскости. Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Уравнение прямой «в отрезках». Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Полярное уравнение прямой.

Тема 10. Кривые второго порядка. Линии второго порядка. Канонические уравнения и основные свойства. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Уравнения кривых 2-го порядка в полярных координатах.

Тема 11. Уравнения прямых и плоскостей в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Декартова система координат в пространстве. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Уравнение поверхности. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор. Уравнение плоскости «в отрезках». Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Уравнение прямой в пространстве. Каноническое уравнение прямой. Взаимное расположение прямых и плоскостей: углы между ними, условия параллельности и перпендикулярности.

Тема 12. Поверхности второго порядка. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения и основные свойства.

Тема 13. Делимость многочленов. Алгоритм Евклида. Теорема Безу. Определение многочленов от одной переменной. Делимость многочленов. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида. Взаимно простые многочлены. Корни многочлена. Максимальное число корней многочлена. Теорема Безу.

Тема 14. Деление многочлена на двучлен. Многочлены над полем рациональных чисел. Деление многочлена на двучлен Кратные неприводимые множители многочлена. Приводимые и неприводимые многочлены над полем. Представление многочлена в виде произведения неприводимых многочленов; единственность этого представления. Многочлены над полем рациональных чисел. Целые и рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Критерий неприводимости Эйзенштейна.

Тема 15. Определение предела по Коши. Критерии существования предела. Бесконечно большие и малые величины. Понятие функции. Свойства функций (четность и нечетность функций, монотонность, ограниченность функции, наибольшее и наименьшее значения на промежутке). Обзор элементарных функций и их графиков.

Предел функции. Непрерывность функции

Окрестности. Определение предела функции по Коши. Критерии существования предела функции: предел монотонной функции, критерий Коши, связь односторонних пределов с пределом функции. Свойства функций имеющих предел. Предел промежуточной функции. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.

Тема 16. Неопределенности. Правила нахождения пределов. Замечательные пределы. Неопределенности. Правила нахождения предела. Замечательные пределы: первый замечательный предел, второй замечательный предел и их следствия.

Тема 17. Непрерывность. Определения непрерывности функции в точке. Свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва. Непрерывность функции на множестве. Общие свойства функций, непрерывных на отрезке: теорема1 Больцано-Коши об обращении функции в 0,теорема2 Больцано-Коши о промежуточном значении непрерывной функции, теорема1 Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции, теорема2 о достижении непрерывной функции точной верхней и точной нижней граней.

Тема 18. Производная. Дифференциал. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Дифференцируемость, правила дифференцирования. Уравнение касательной и нормали. Производные элементарных функций. Дифференцирование сложной и обратной функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование неявных функций. Дифференцирование функции заданной параметрически. Производные высших порядков. Формулы для производных n-ого порядка некоторых функций. Определение дифференциала и его связь с производной.

Тема 19. Применение производной. Теорема Ферма. Теорема Роля. Теорема Коши (следствие теоремы Ролля). Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя.

Тема 20. Неопределенный интеграл. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Методы замены и подстановки для вычисления интегралов. Метод интегрирования по частям Интегрирование рациональных дробей.

Тема 21. Интегрирование иррациональных выражений. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование иррациональных выражений. Подстановка Эйлера. Интегрирование тригонометрических выражений.

Тема 22. Определенный интеграл. Несобственные интегралы. Понятие определенного интеграла Ньютона. Геометрическая интерпретация интеграла Ньютона. Свойства интеграла Ньютона. Теорема о среднем и ее следствия. Геометрическая интерпретация свойств интеграла Ньютона.

Несобственные интегралы. Интегралы по бесконечному промежутку. Свойство сходящегося несобственного интеграла по бесконечному промежутку Признаки сходимости интеграла по бесконечному промежутку. Интегралы от неограниченной функции. Вычисление несобственного интеграла. Признаки сходимости интегралов от неограниченных функций.

Тема 23. Числовые ряды. Определение числового ряда и его суммы. Свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд. Знакопостоянные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного ряда. Признак сравнения рядов. Предельный признак сравнения. Признак Даламбера. Предельный признак Даламбера. Признаки Коши. Предельный признак Коши. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница. Оценка остатка ряда Лейбница. Перестановка членов ряда. Признаки сходимости.

Тема 24. Функциональные ряды. Понятие функционального ряда и его сходимости. Равномерная сходимость. Признак равномерной сходимости функционального ряда. Достаточный признак сходимости Вейерштрасса. Непрерывность суммы ряда. Почленный переход к пределу, почленное интегрирование и дифференцирование. Определение степенного ряда. Радиус сходимости. Теорема Коши-Адамара или сходимость степенного ряда. Интервал и область (промежуток) сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов. Непрерывность суммы степенного ряда. Интегрирование степенных рядов. Дифференцирование степенных рядов. Ряд и формула Тейлора. Теорема Тейлора в форме Лагранжа. Формулы Тейлора с остаточным членом Коши. Условие разложения функции в ряд Тейлора. Разложение функции в степенные ряды. Разложение функций , sinx, cosx функций arctgx, ln(1+ x ) в ряд Маклорена. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям. Ортонормированные системы функций, понятие ряда Фурье по ортонормированной системе.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10