Рабочая программа дисциплины «Математика (математический анализ, алгебра, геометрия)» (стр. 7 )

21.  Длина вектора, угол между векторами в евклидовом пространстве. Неравенство Коши-Буняковского.

22.  Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации. Ортонормированный базис линейного пространства.

23.  Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения. Общее уравнение прямой.

24.  Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

25.  Уравнение прямой «в отрезках». Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Полярное уравнение прямой.

26.  Линии второго порядка. Канонические уравнения и основные свойства. Окружность. Эллипс.

27.  Линии второго порядка. Канонические уравнения и основные свойства. Гипербола. Парабола.

28.  Уравнения кривых 2-го порядка в полярных координатах.

29.  Декартова система координат в пространстве. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении.

30.  Уравнение поверхности. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор.

31.  Уравнение плоскости «в отрезках». Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

32.  Уравнение прямой в пространстве. Каноническое уравнение прямой.

33.  Взаимное расположение прямых и плоскостей: углы между ними, условия параллельности и перпендикулярности.

34.  Поверхности второго порядка. Канонические уравнения и основные свойства.

35.  Определение многочлена. Свойства делимости многочленов над областью целостности.

36.  Свойство делимости. Теорема о делении с остатком.

37.  Теорема о нахождении НОД. Алгоритм Евклида.

38.  НОД, свойства. Линейное представление НОД.

39.  Деление многочлена на двучлен. Теорема Безу.

40.  Схема Горнера. Примеры.

41.  Приводимость многочленов над полем.

42.  Кратные множители. Отделение кратных множителей.

43.  Приводимость многочленов над различными полями. Признак неприводимости Эйзенштейна.

44.  Определение предела функции по Коши. Критерии существования пределов функции.

45.  Свойства функций, имеющих предел.

46.  Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Эквивалентные бесконечно малые величины. Примеры выполнения пределов с эквивалентными бесконечно малыми величинами.

47.  Правила нахождения пределов.

48.  Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Следствия.

49.  Определение непрерывности функции в точке. Свойства непрерывных функций.

50.  Классификация точек разрыва. Примеры.

51.  Непрерывность функции на множестве. Общие свойства функций непрерывных на отрезке. Теоремы Больцано-Коши. Теоремы Вейерштрасса.

52.  Задачи, приводящие к понятию производной функции. Определение производной.

53.  Дифференцируемость. Правила дифференцируемости.

54.  Производные элементарных функций.

55.  Дифференцируемость сложной и обратной функций. Примеры. Логарифмическая дифференцируемость. Дифференцируемость неявной функции, функции заданной параметрически. Примеры.

56.  Производные высших порядков. Примеры.

57.  Дифференциал и его связь с производной. Дифференциалы высших порядков.

Примерный перечень вопросов к зачету

1.  Основные теоремы дифференциального исчисления. Теоремы Ферма, Ролля. Теоремы Коши, Лагранжа. Примеры применения.

2.  Исследования функции с помощью производной. Условия постоянства и монотонности функции. Экстремумы функций. Определение выпуклости и вогнутости функции. Неравенство выпуклости и вогнутости. Условия выпуклости и вогнутости. Нахождение точек перегиба.

3.  Исследования функции с помощью производной. Асимптоты.

4.  Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

5.  Метод замены и подстановки для вычисления интегралов. Метод интегрирования по частям. Примеры.

6.  Интегрирование рациональных дробей.

7.  Интегрирование иррациональных выражений.

8.  Интегрирование тригонометрических выражений.

9.  Понятие определенного интеграла Ньютона. Свойства интеграла Ньютона. Теорема о среднем. Следствия. Геометрическая интерпретация интеграла Ньютона и его свойств.

10.  Способы вычисления интеграла Ньютона.

11.  Интегралы по бесконечному промежутку. Вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку. Признаки сходимости интегралов по бесконечному промежутку.

12.  Интегралы от неограниченных функций. Вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций. Признаки сходимости интегралов от неограниченных функций.

13.  Определение числового ряда и его суммы. Примеры. Свойства числовых рядов.

14.  Признаки сравнения рядов. Примеры.

15.  Признаки Даламбера. Примеры.

16.  Признаки Коши. Примеры.

17.  Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница.

18.  Понятие функционального ряда и его сходимость. Равномерная сходимость функциональных рядов.

19.  Определение степенного ряда. Радиус сходимости. Интервал и область сходимости степенного ряда.

20.  Ряд и формула Тейлора. Условия разложения функции в ряд Тейлора.

21.  Разложение функций , sinx, cosx функций arctgx, ln(1+ x ) в ряд Маклорена

22.  Применение рядов для приближенных вычислений.

23.  Ряды Фурье. Ортонормированные системы функций, понятие ряда Фурье по ортонормированной системе.

24.  Окрестность и пределы последовательности точек.

25.  Определение функции многих переменных. Дифференцируемость функции многих переменных.

26.  Двойной интеграл. Вычисление двойных интегралов.

27.  Криволинейные интегралы первого рода.

28.  Криволинейные интегралы второго рода.

29.  Поверхностные интегралы первого и второго рода.

30.  Основные понятия для функции многих переменных.

31.  Непрерывность функции многих переменных. Линии уровня.

32.  Частные производные функции многих переменных. Примеры.

33.  Дифференцируемость функции многих переменных. Необходимое условие дифференцируемости. Примеры.

34.  Производные сложной функции. Примеры.

35.  Полный дифференциал функции многих переменных. Примеры.

36.  Частные производные и дифференциалы высших порядков. Примеры.

37.  Экстремумы и оптимумы функции многих переменных. Примеры.

38.  Понятие двойного интеграла. Примеры.

39.  Замена переменных в двойном интеграле. Примеры.

40.  Формула перехода в двойном интеграле к полярным координатам. Примеры.

41.  Приложение двойного интеграла. Примеры.

42.  Понятие криволинейного интеграла второго рода. Свойства. Примеры.

43.  Существование и вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.

44.  Формула Грина. Пример.

45.  Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Примеры.

46.  Понятие криволинейного интеграла первого рода. Свойства. Вычисление. Примеры.

47.  Определение и свойства функций комплексного переменного. Предел и непрерывность.

48. Основные трансцендентные функции. Производная.

49. Условия Коши-Римана. Аналитические функции.

50. Интегрирование функций комплексного переменного. Свойства. Теорема Коши. Интегральная формула Коши.

51. Формулы для производных высшего порядка функции комплексного переменного.

52.  Дифференциальные уравнения первого порядка

53.  Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка.

54.  Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Геометрическая интерпретация.

55.  Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Примеры.

Примерный перечень заданий контрольных работ

1.  Решить матричные уравнения: а) A´X = C; б) A´X´B = C, где:

2.  Решить систему уравнений по формулам Крамера.

3.  Проверить совместимость системы уравнений (по теореме Кронекера–Капелли).

4.  Найти базис системы векторов.

a1=(3,1,2,0,1), a2=(5,0,-6,1,3), a3=(-2,2,1,1,3), a4=(8,0,3,-1,-1), a5=(10,-1,-5,0,1), a6=(5,-1,1,-1,-2)

5.  Решить систему методом Гаусса.

6.  Найти общее решение системы и записать, если возможно, одно частное решение.

7.  Проверить, образует поле или кольцо относительно обычных операций сложения и умножения указанное множество: множество всех рациональных чисел, которые можно представить в виде дроби со знаменателем 2.

8.  Выполнить действие:

9.  Даны векторы . Необходимо: а) вычислить смешанное произведение трех указанных векторов; б) найти модуль векторного произведения указанных векторов; в) вычислить скалярное произведение двух указанных векторов; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны указанные два вектора; д) проверить, будут ли компланарны указанные три вектора.

; а) ;

10. Вершины пирамиды находятся в точках А, В, С и D. Вычислить: А(-4,-7,-3), В(-4,5,7), С(2,-3,3), D(3,2,1). а) Площадь грани ВCD; б) площадь сечения, проходящего через середину ребра BС и вершины А и D пирамиды; в) объем пирамиды АВСD.