Рабочая программа дисциплины «Математика (математический анализ, алгебра, геометрия)» (стр. 8 )

11. Даны четыре точки А, В, С, D, заданные своими координатами. Составить уравнения:

а) плоскости АВС;

б) прямой АВ;

в) прямой DМ, перпендикулярной к плоскости АВС;

г) прямой СN, параллельной прямой АВ;

д) плоскости, проходящей через точку D, перпендикулярно к прямой АВ.

Вычислить:

е) синус угла между прямой АD и плоскостью АВС;

ж) косинус угла между координатной плоскостью хОу и плоскостью АВС.

А(2,3,5), В(5,3,-7), С(1,2,7), D(4,2,0)

12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(3,4,0) и прямую .

12. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и .

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(5,2,-3) и отсекает на осях Ох и Оz отрезки а=-4 и с=3 соответственно.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1,-1,2) перпендикулярно к отрезку АВ, где А(2,3,-4), В(-1,2,-3).

15. Доказать, что прямая параллельна плоскости 2х+у-z=0, а прямая лежит в этой плоскости.

16. При каких значениях m и С прямая перпендикулярна к плоскости 3х-2у+Cz+1=0?

17. Показать, что прямые , 3х+у-5z-1=0 и 2х+3у-8z+3=0 перпендикулярны.

18. Найти точку пересечения прямой и плоскости 3х-у+2z-8=0.

19. Составить общее уравнение прямой, образованной пересечением плоскости х+2у-z+5=0 с плоскостью, проходящей через ось Оу и точку М(5,3,2).

20. Показать, что прямая параллельна плоскости х+3у-2z+1=0, а прямая лежит в этой плоскости.

21. Найти точку, симметричную точке М(2,-1)относительно прямой х-2у+3=0.

22. Найти точку О пересечения диагоналей четырехугольника АВСD, если А(-1,-3), В(3,5), С(5,2), D(3,-5).

23. Известны уравнения стороны АВ треугольника АВС 4х+у=12 и его высот ВН:5х-4у=12, АМ:х+у=6. Найти уравнения двух других сторон треугольника.

24. Даны две вершины треугольника АВС: А(-6,2) и В(2,-2); точка пересечения высот треугольника АВС Н(1,2). Найти координаты точки М пересечения стороны АС и высоты ВН.

25. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника АВС, если А(2,3), В(0,-3), С(6,-3).

26. Составить уравнения медианы СМ и высоты СК треугольника АВС, если А(4,6), В(-4,0), С(-1,-4).

27. Какую ординату имеет точка С, лежащая на одной прямой с точками А(-6,-6) и В(-3,-1 ) и имеющая абсциссу, равную 3?

28. Найти точку Е пересечения медиан треугольника АВС, если А(-3,1), В(7,5), С(5,-3).

29. Даны уравнения высот треугольника АВС: 2х-3у+1=0, х+2у+1=0 и координаты его вершины А(2,3). Найти уравнения сторон АВ и АС треугольника.

30. Записать уравнения прямых, проходящих через точку А(-1,1) под углом 45° к прямой 2х+3у=6.

31. Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы, в) параболы. (А, В – точки, лежащие на кривой; F – фокус; а – большая (действительная) полуось; b – малая (мнимая) полуось; е – эксцентриситет; у=±кх – уравнения асимптот гиперболы; D – директриса кривой; 2с – межфокусное расстояние.)

А(), В();

32 . Составить уравнение линии, каждая точка М которой удовлетворяет следующим условиям.

Отстоит от прямой х=8 на расстоянии в два раза большем, чем от точки А(-1,7).

33. Построить поверхности и определить их вид.

х2=8(у2+z2).

34. Записать уравнение и определить вид поверхности, полученной при вращении данной линии вокруг указанной оси координат, сделать рисунок.

x=4, z=6, Oy.

Выполните деление с остатком, используя схему Горнера:

х4-2х3+4х2-6х+8 на х-1;

36. Пользуясь схемой Горнера, разложите многочлен f(x) по степеням х-а: f(x)=x4+2x3-3x2-4x+1, a=-1;

37. Пользуясь алгоритмом Евклида, подобрать полиномы М1(х) и М2(х) так, чтобы f1(x)M2(x)+f2(x)M1(x)=d(x), где d(х) – общий наибольший делитель f1(x) и f2(x):

f1(x)=x5+3x4+x3+x2+3x+1, f2(x)=x4+2x3+x+2;

38. Найти область определения данной функции:

.

39. Найти j[j(x)], y[y(x)], j[y(x)] и y[j(x)], если j(х)=sin x и y(х)=.

40. Найти функцию, обратную данной. Указать область ее определения. (Данную функцию рассматриваем на любом из промежутков, где она является строго монотонной).

2 sin 3x.

41. Исследовать функцию на четность и нечетность:

log2.

42. Доказать, что:

=1.

46. Найти предел функции:

.

47.  Найти предел функции:

48.  Найти предел функции:

.

49.  Найти предел функции:

.

50.  Найти предел функции:

.

51.  Найти предел функции:

.

52.  Найти предел функции:

.

53.  Найти предел функции:

.

54.  Найти пределы с помощью эквивалентных бесконечно малых:

.

55.  Найти точки разрыва функции, установить их род, доопределить функцию по непрерывности в точках устранимого разрыва:

y=lg(x2+3x).

56.  Исходя из определения производной, непосредственно найти производную следующей функции: .

57  Используя правила и формулы дифференцирования, найти производную функции: .

58  Продифференцируйте следующую функцию: .

59  Найти производную: .

60  Найти для функции , заданной параметрически: .

61  Найти производную от функции у, заданной неявно: .

62  Найти производную n-го порядка от функции:

63  Определить, в каких точках и под каким углом пересекаются графики функций: .

64  Заменяя приращения функции дифференциалом, найти приближенно следующее значения: .

65  Считая х независимой переменной, найти дифференциал указанного порядка: .

66  Используя правило Лопиталя, найти предел функции:

67  Дана функция , где m и n – целые положительные числа. Не вычисляя производной, показать, что уравнение имеет по крайней мере один корень в интервале (0, 1).