Розділ 1. Варіаційне числення (стр. 10 )

або

Обчисливши інтеграли, одержуємо систему двох рівнянь з двома невідомими:

розв’язками якої є , . Таким чином, .

Наближення , ,... шукаються аналогічно. Порівнюючи точний розв’язок задачі з та , маємо:

	0,044	0,052	0,044
	0,07	0,069	0,069
	0,06	0,052	0,06

Отже, при метод Рітца дає хороші наближення точного розв’язку вихідної задачі.

п.12.2. Метод Рітца розв’язання крайових задач

для рівнянь з частинними похідними.

Нехай в прямокутнику , потрібно розв’язати крайову задачу

,

.

В якості координатних функцій, які задовольняють заданим крайовим умовам, візьмемо функції , , причому або . Наближення . Тоді система (1) запишеться так:

;

або в еквівалентному вигляді

,

де ,

.

Звідси бачимо, що якщо хоча б одне з чисел і — парне, то . Якщо ж та — непарні, то . Тоді наближений розв’язок поставленої задачі запишеться у вигляді .

§ 13. Метод прогонки розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку.

Метод Рітца, не зважаючи на те, що дає досить хороші наближення точного розв’язку, має суттєвий недолік: потрібно підраховувати велику кількість визначених інтервалів. Метод прогонки позбавлений цього недоліку і до того ж легко реалізовується на ЕОМ.

Розглянемо таку задачу. Знайти розв’язок диференціального рівняння другого порядку

(1)

при , причому крайові умови можуть бути такі:

, , ()

, , ()

, ()

Задамо ціле число , виберемо крок та розбиття . Замінюємо першу та другу похідні функції у вузлі їх різницевими аналогами: , . Тоді рівняння (1) зводиться до такої системи алгебраїчних рівнянь

, (3)

де , , , . Якщо крайові умови мають вигляд (), то треба додати , , а у випадках () та () – апроксимувати перші похідні. Звівши рівняння (3) до спільного знаменника і проапроксимувавши крайові умови, замість задачі (1) – (2) одержуємо таку:

Тут , , , , , , , , , — відомі числа. У випадку крайової умови () .

Розв’язок системи (4) – (5) шукаємо у вигляді

, (6)

де , — невідомі коефіцієнти. Аналогічно (6), запишемо , . Підставляючи значення та в рівняння (4), одержуємо: